Некогда поднялся в мире математики шум. До того каждая группа единомышленников - будь то числа, объединившиеся по какой-либо части своей сущности, или же их цепи, нашедшие в себе общие части, - были предоставлены сами себе и не задумывались ни о чём. А что ж теперь? Некто "натуралы" - неподелённые, строго большие чисел-Зиро, стали раз за разом объявлять о некоей загадочной "мощности" иных групп-множеств. И кого-то, кто оказывался равномощен им самим, натуралы ставили в зависимость: отныне к каждому из подчинённого множества обращались не только и не столько по имени, но чаще по номеру - имени того натурала, который взял сей единственный элемент себе на попечение.
И многие были даже довольны этим, как, скажем, подчиненные великого Кью. Но однажды нагрянули натуралы к бинарам - двоичникам, цепям из нулей и единиц, столь длинным, что каждого из них легко можно было сравнить с бесконечностью. Нагрянули да и заявили, что, дескать, будут теперь бинары счётны и пересчитаны. А были двоичники народом свободолюбивым, не терпящим излишнего надзора. Стали они бунтовать, бесноваться, кричать - "Занумеровали, демоны!" Да только не помогало это: непокорённые, доказавшие свою несчётность, лишь презрительно пожимали плечами в ответ, а счётные лишь радовались, что в их довольном обществе появился ещё один народ.
Взглянул на всю эту бузу один математик - большой знаток законов чисел и не меньший любитель справедливости. И решил он однажды вмешаться, рассудить, кто же всё-таки прав. Спустился он к ряду цепей, стоявших, понурив головы, после очередного подсчёта, и заговорил:
- Не изволите ли вы, друзья-бинары, оказать посильную помощь одному из чародеев-математиков?
Посовещались бинары и решили: а почему бы не помочь, ежели чародей просит? Встали они перед ним и ждут указаний. А математик подошёл к первому, достал пергамент, палочку волшебную, графитовую, и спросил:
- Какова голова твоя, друг?
Ответил ему бинар, назвал число - не то ноль, не то единицу, это нам неведомо, а знаем мы зато, что черканул математик палочкой по пергаменту, вписал число - но не то, которое ему бинар назвал, иное, отличное.
Подошёл затем ко второму - о втором звене его спросил. Третьего - о третьем. К каждому подошёл во всём бесконечном ряду занумерованных. И всякий раз не то писал, что ему называли.
Но вот закончился ряд, и подвёл математик черту под записью своей. Набросил на себя пергамент, прочитал заклинание - и превратился в бинара, ровно того, какого зарисовал с чужих слов.
Пообещал:
- Я вернусь.
И направился прямиком к натуралам.
Встретили его на границе поселения, да и спросили:
- Кем занумерован будешь?
- Никем, - ответил тот.
- Врёшь, двоичник! Скажи, кем занумерован, узнаем - хуже будет!
Не испугался математик, сказал:
- Ищите, смотрите, я готов ждать.
Отправили его в камеру, и стал один из натуралов, очень непростой парень, знающий, опытный, изучать явившегося к ним. И так, и этак рассматривал, и те, и другие образы занумерованных прикладывал - всё не то, всё хоть в одном месте, да не совпадает. А математик всё заранее прекрасно знал, ведь он таким себя и создал - отличным от каждого, кому нашёлся номер.
Долго допрашивали натуралы чародея, долго пытались понять, что за зверь попал им в руки. Но, наконец, не оставалось им ничего - только отступиться, признать, что есть бинар, не покорённый ими, а значит - не занумерованы двоичники, как думалось вначале.
Отпустили натуралы пришедшего к ним, а сами спешно снялись с места и ушли - в иные земли, к иным народам.
Вернулся математик в поселение, и встретили его, как героя. Хвалили, чествовали, да только сам виновник торжества невозмутим оставался. А когда притихли голоса, всмотрелся он внимательно в толпу и подал знак одному из бинаров: подойди, мол, друг, покажись.
И увидели все, что всегда среди них был не получивший номер. Просто не знали бинары, как найти его.
- Вы научили нас великому делу, чем мы можем вам отплатить? - спросил тот, кто прежде был Би-первым.
Улыбнулся математик и ответил:
- Не нужна мне плата. Лишь помните, что я вам рассказал, и, ежели с кем случится та же беда, если покорят их несправедливо - расскажите, как с таким несчастьем бороться!
Взмахнул руками - и исчез.
С тех пор и пошло, что, если кто про вседозволенность и величие натуралов заикнётся - ему тут же в пример бинаров приводят. А путь, пройденный ими к свободе, зовут по имени того математика - Канторов диагональный процесс.