Аннотация: В статье обсуждается проблема аксиом геометрии Евклида. Предлагается новое решение проблемы пятого постулата Евклида.
В.А. Илюшин
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Геометрия издавна считалась идеалом науки. Здесь каждый закон (теорема) обосновывался с помощью других законов. Отсюда - впечатление высшей достоверности, истинности. Однако, у геометрии имеется и своя ахиллесова пята - исходные понятия: линия, прямая, кривая, точка, плоскость. Из этих элементов строятся все геометрические структуры, но их понятия не только не обосновываются, но даже не определяются. Причем, тайком соответствующими определениями пользуются: линия - это длина без ширины, точка - вообще объект без размеров. Такие объекты в действительности существовать не могут (поэтому-то эти определения применяются втихомолку - чтобы явно не обнаруживать абсурдность основ прославленной строгостью науки).
Если линий и точек в действительности существовать не может, что же тогда, на самом деле, изучает геометрия? Или это не достовернейшая из наук, а фантазия, выдумка? Чтобы логически завершить постройку здания геометрии, надо найти в действительности объекты, которые соответствуют геометрическим понятиям 'линия', 'точка', 'прямая', 'плоскость'. Это можно сделать, анализируя физические процессы, используя физические законы.
Программа обоснования геометрии с помощью физики была начата Эйнштейном. Он полагал, что твердые тела со сделанными на них отметками при соблюдении некоторых предосторожностей реализуют геометрическое понятие отрезка, а луч света реализует прямую линию. Эйнштейн указывал, что без такого подхода невозможно было бы создать теорию относительности. Этот подход сводит геометрию к обобщению физических явлений и 'сбрасывает аксиомы геометрии с пьедестала'. Но Эйнштейн только приступил к выведению геометрии из физики. Его определение отрезка (твердые тела с отметками на них) и прямой линии как луча света - ошибочны.
Главное понятие геометрии - как мы далее увидим - линия. Оно соответствует определенному физическому объекту, 'физической линии'. Физическая линия - это след, который оставляет движущееся тело на твердых телах. При этом, беспорядочные следы не образуют линии. Что же тогда представляет собой тот порядок, благодаря которому возникает линия? Дело в том, что движение всегда совершается на основе импульса силы, а этот последний определяет направление движения и, тем самым, направление возникающей при этом линии. Направление движения - вот тот порядок, который порождает линию.
Второе свойство линии (или ее второй закон) - конечность, любая линия - конечна. Это свойство обусловлено конечностью любого движения, которая может определяться многими причинами. Наиболее решительная из них - гибель вещи, а это то, чего ни одна вещь избежать не в силах. Но подавляющее большинство линий прерывается задолго до гибели движущейся вещи. Как будет показано далее, неудачи с доказательством Пятого постулата в эвклидовой системе геометрии имели своей коренной причиной то, что закон конечности линий не учитывался.
Третье свойство (закон) линии - ее протяженность. Это величина линии, которая измеряется, ориентируясь на направление линии. Как и всякая величина протяженность (длина) измеряется с помощью эталона - специально выбранного отрезка другой линии.
Таким образом, геометрическая линия есть понятие, которое отображает реально существующий объект - физическую линию - но не все ее свойства. Физическая линия имеет и длину, и ширину, и высоту. Какие свойства при этом отбираются, выяснится после определения сущности пространства (известно, что геометрия - это наука о пространственных соотношениях). Но сначала мы определим физические прообразы остальных базовых понятий геометрии.
Итак, существует три вида линий: прямая, ломаная, кривая. Причем, у прямой не существует 'официального' определения. Неофициально же она рассматривается как кратчайшее расстояние между двумя точками. Это определение ошибочно, поскольку на поверхности иногда кратчайшим расстоянием является кривая, дуга. Пытаются определить прямую с помощью примеров: туго натянутая нить, луч света (Эйнштейн). Однако, нить, натянутая на сферическую поверхность есть кривая, в то время как луч света также искривляется в поле тяготения.
Прямая легко определяется из закона направления физической линии. Направление может либо меняться, либо не меняться. Прямая - это линия с неизменным направлением. Что лежит в основе неизменности направления? Это импульс силы, который определяет направление - если он один-единственный, если отсутствует воздействие других силы, то направление движения не меняется.
А пользуемся мы, чаще всего, прямыми, создаваемыми искусственно, используя в качестве ориентира луч света (луч зрения), поскольку в разреженной среде (в воздухе, например) он отклоняется от прямой незначительно. И создаем линейки.
Ломаная линия. Линия может не менять своего направления, но может и изменять его - тогда возникает линия ломаная. Направление движения, порождающего линию, меняется при последовательном воздействии нескольких сил. При этом, после воздействия очередной силы тело движется по прямой. Так что всякая ломаная сплошь состоит из отрезков прямых, расположенных под разными углами друг к другу. Всякое движение есть движение по прямой, по инерции; действие сил только меняет направление прямолинейных отрезков.
Кривая линия. Ее 'полуофициальное' определение в геометрии - ни один из ее участков не является прямой. Но! Кривая постоянно меняет свое направление; это значит, что на движущееся тело, порождающее кривую, последовательно действуют разные силы - от чего и меняется направление (движения - и линии). И тогда каждый импульс силы порождает движение по прямой (движение по инерции) и, соответственно, участок прямой линии.
Так что, любое движение под действием нескольких последовательных сил порождает только ломаную линию, состоящую из прямых отрезков. Линий, у которых ни один из участков не является прямой, в действительности существовать не может. Линии бывают либо прямые, либо ломаные.
Откуда же возникает ошибочное представление об отличии кривой от ломаной? - Из зрительной (оптической) иллюзии. Если мы впишем в окружность правильный многоугольник и будем удваивать число его сторон, то ломаная начинает очень сильно напоминать окружность. Вскоре, дальнейшее удвоение сторон на чертеже становится невозможным. А если мы продолжим удвоение с помощью микроскопа и тонкого инструмента, то получим ломаную, которая зрительно будет восприниматься как кривая (окружность):отрезки прямой будут представляться нам точками.
С другой стороны, на ровной степи или в спокойном море мы видим плоскую равнину протяженностью в 4-6 км. Между тем, поверхность земли - кривая. Чем больших размеров кривая, тем отчетливее в ней просматриваются отрезки прямых. Кривые на чертеже - по необходимости - малых размеров, и потому отрезки прямых в ее составе исчезают из вида.
Кроме того, кривая есть особая ломаная: направление отрезков прямых в ее составе всегда меняется отнюдь не беспорядочно, а по определенному закону. Когда мы строим кривую по точкам на графике, рекомендуется соединять точки 'плавными' линиями. Потому что направление кривой меняется 'мелкими шажками'; если же направление меняется резко, на графике вместо кривой появляется ломаная.
Угол. Сейчас он определяется как фигура, образованная двумя полупрямыми. Это не геометрический, а физический угол. Определение геометрического угла последует далее.
Точка. Физическая точка - это след от пересечения одной линии другой, то есть, это часть линии (или поверхности). Точка имеет размеры (длину, ширину и высоту), которые зависят от размеров пересекающихся линий. В геометрии точка определяется (опять же, неофициально) как геометрический объект, не имеющий размеров, но, как видно из способа возникновения физической точки, она не может не иметь размеров. А физическая точка есть объект, который отражается в понятии 'геометрической точки'.
Нам осталось охарактеризовать 2 последних элемента пространственной структуры - поверхность и объем. Но, как мы увидим, это можно сделать только после уяснения сущности пространства.
СУЩНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА
Сущность пространства определяется соотношением закона взаимной непроницаемости тел и закона движения (перемещения) тел. Любая частица вещества обладает энергией, которая обнаруживается, в частности, как сила отталкивания. Поэтому, в том месте пространства, где находится одно тело, другое тело находиться не может. И если даже вначале действуют силы притяжения, на очень малых расстояниях вступают в игру силы отталкивания.
Итак, тело неспособно находиться в том месте пространства, где имеется другое тело. Это и есть закон взаимной непроницаемости тел. С другой стороны, действует закон всеобщего движения (перемещения) тел. Как известно, все тела движутся (перемещаются), даже те, которые находятся в покое (относительном). Все тела в составе Земли движутся со скоростью 30 км/с (108 000 км/ч) по орбите вокруг Солнца. Вывод: если все тела движутся, то в тех местах, через которые они перемещаются, других тел нет. А где нет других тел, там нет ничего, там - пустота. Считалось, что электромагнитное поле телом не является. Но после того как было установлено, что фотоны обладают гравитационной массой, стало несомненно, что они обладают также и инертной массой и потому все-таки являются телами. Способность фотонов к дифракции и интерференции не мешает им быть телами - такими же свойствами обладают также тела, из которых состоит, например, вода.
Итак, пространство есть пустота - ибо в том месте, где тела движутся, других тел быть не может; а там, где нет тел, там нет ничего. Пустота, пространство - это ничто. В пустом пространстве отсутствуют какие бы то ни было свойства. 'Пространство-ничто' обладает одним-единственным свойством - быть вместилищем тел. И этим свойством 'пространство-ничто' может обладать только потому, что все другие свойства у него отсутствуют - ему нечем контактировать с телами. Свойство 'быть вместилищем' есть протяженность пространства. Следует отметить, что движение тела в жидкостях и газах осуществляется путем расталкивания частиц, составляющих эти среды, по пустым местам и освобождения таким образом мест для движения тела. Существование свойства протяженности позволяет определить пространство-ничто как физический объект.
После определения сущности пространства возможно, наконец, понимание сущности таких его элементов как объем и поверхность.
Объем. Наиболее удобный объект анализа здесь - объем атома. Объем его ядра в 10 000 раз меньше, чем объем самого атома, а объем электронов вообще можно не принимать во внимание - физики рассматривают электрон как точку, то есть, как объект, вообще не имеющий объема (как будто не имеющий). Иными словами, подавляющую часть объема атома составляет пустота. Объем частиц в составе атома вообще можно не учитывать ввиду его ничтожности. Вот почему понятие объема до сих пор не поддавалось определению - игнорировалось то, что составляет основную часть объема - а именно, пустота.
Итак, объем есть пустота, но пустота особая. Она ограничена контуром из частиц вещества, порождающих силы отталкивания, которые не допускают внутрь объема другие тела. Тело - это 'пузырь' пустоты, это пустота, но пустота, особым образом организованная, разграниченная; структура же пространства есть конструкция из тел (пузырей пустоты).
Причем, пустота внутри тела - это не часть пустоты, не какая-то ее определенная часть. Все тела несутся сквозь пустоту (Земля, например, - со скоростью 108 000 км/ч вокруг Солнца), и 'состав пустоты' внутри тел непрерывно 'обновляется'. Тело с его объемом - это ажурная конструкция из частиц, которая непрерывно несется сквозь пустоту (ничто).
Существует загадочное явление природы - плотность. Плотность тела может изменяться, количество вещества в нем при этом остается неизменным. Как это может быть? Что изменяется, если не изменяется количество вещества? Изменяется расстояние между частицами, которые образуют контуры тела. Процесс изменения плотности - это явление, недвусмысленно подтверждающее факт того, что пространство есть пустота (ничто).
Весьма показательно с этой точки зрения соотношение вещества и пустоты в мировом пространстве, в нашей Метагалактике. Плотность вещества в Метагалактике 10 31 г/см3, то есть, вещество занимает около одной десятинониллионной доли мирового пространства. Один атом приходится на 3 м3 пустоты (см. Силк Д. Большой взрыв. - М.: 1982, с. 300). Если радиус атома - 10-8 см, то атомов - по объему - в 100 млрд. меньше, чем пустоты (и это при том, что атомы сами суть 'пузыри пустоты').
Поверхность. Из понимания сущности объема и тела становится возможным также и определение поверхности. Поверхность - это границы (контуры) объема тела, состоящие из частиц вещества. Между частицами, телами, образующими поверхность, должны существовать достаточные силы сцепления, чтобы тела, входящие в состав поверхности были неподвижны относительно друг друга. То есть, поверхность возможна только у твердых тел. Скажем, форма поверхности моря постоянно меняется; поэтому поверхность моря не есть поверхность в собственном, физическом смысле слова.
Без выявления физической природы как объема, так и поверхности их определение в геометрии составляло колоссальные трудности и было, по существу, невозможным.
Заметим, что пустота составляет, по-видимому, не только подавляющую часть объема атомов, но и любых частиц вообще. Так, теория кварков предполагает наличие расстояний между ними внутри частиц (протонов, нейтронов и т.д.). И чтобы объяснить способ существования и функционирования кварков приходится предполагать, что силы притяжения между ними растут при росте расстояния между ними в пустоте; а на малых расстояниях они 'свободно плавают'.
СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА
Структура пространства принципиально отличается от структуры любых других вещей. Там структура образуется из элементов, которые являются частями самой данной вещи. Но пустота не имеет ни свойств, ни частей. Возможна ли в таком случае структура пустого пространства? Да, возможна! Структуру пустоты (пространства) создают тела ('пузыри пустоты'), образованные контурами из частиц вещества. Структура пространства - это отношения между телами в пустоте. Эти отношения фиксируются с помощью линий, соединяющих тела (которые обозначаются физическими 'точками'). Свойства линий - направление и протяженность - выступают в качестве основных характеристик пространственных структур.
СТРУКТУРА ГЕОМЕТРИИ
После выяснения сущности пространства появляется, наконец, возможность выяснения сущности самой геометрии. Принято считать, что геометрия есть наука о пространственных отношениях. Но отношения предполагают существование объектов, между которыми существуют эти отношения, однако, в данном определении о таких объектах ничего не говорится. В этом случае определение становится 'неопределенным', туманным; неясно о чем идет речь. К тому же, пространство - это пустота, ничто, и там нет и быть не может никаких отношений.
Отношения в пространстве возникают, если в нем появляются тела, они-то и образуют структуру пространства. Предметом геометрии являются не отношения в пространстве, а отношения в структуре пространства, отношения между телами в пространстве. Пространство же может вообще не содержать тел, а потому и не иметь никакой структуры.
Геометрическая линия. Правильное понимание сущности геометрии открывает дорогу к пониманию различий между 'линией физической' и 'линией геометрической'. Геометрическая линия фиксирует отношение между телами в пространственной структуре.
Отношение в философии определяется как взаимозависимость вещей, но это неверно. Два тела в пространстве, которые не взаимодействуют друг с другом, могут быть совершенно независимыми друг от друга, но пространственное отношение между имеется всегда. То же самое касается и временных отношений вещей: отношения во времени могут существовать, а взаимозависимость при этом отсутствовать, например, если одна вещь возникла гораздо позже другой.
Тем не менее, понятие отношения тесно связано с понятием взаимодействия. А именно: отношение есть возможность взаимодействия. Геометрическая линия определяет возможность взаимодействия тел в пространстве. Чем больше расстояние между телами, тем меньше возможность (вероятность) взаимодействия этих тел. Протяженность есть первый закон, определяющий существование геометрической линии. Прямая есть кратчайшее расстояние между телами в пространстве; изменение направления линии расстояние увеличивает - ломаная всегда длиннее прямой, соединяющей те же точки. Направление - второй закон геометрической линии, от него зависит величина протяженности.
Содержание понятия геометрической линии фиксирует лишь некоторые моменты линии физической, а именно: протяженность и направление. Для нее совершенно неважно, является ли физическая линия медной, влажной или синей. Здесь обнаруживается и основание для 'неофициального' определения геометрической линии как 'длины без ширины' - ведь ширина линии не имеет значения для фиксирования ее протяженности (как и ее 'высота').
Итак, геометрическая линия фиксирует пространственное отношение (протяженность) между телами.
Геометрический угол. Определение угла в эвклидовой геометрии как фигуры из двух лучей (полупрямых) неверно. Если мы удвоим величину лучей, возникнет новая геометрическая фигура, а величина угла при этом не изменится. Ибо геометрический угол - это лишь различие направлений прямых; и измеряется он дугой окружности, в которую вписан угол. Лучи могут быть одинаковой или различной длины, но это на величину геометрического угла не влияет. Угол, образованный 'лучами' - частный случай; вообще углы, как правило, образуются при пересечении двух прямых.
Геометрическая точка. Это понятие отражает объект 'физическая точка' - место пересечения линией другой линии или поверхности. Но применение понятия 'физическая точка' в геометрии наталкивалось на трудности; например, при делении отрезка точкой пополам или в другом отношении. Дело в том, что, если делящая точка приписывалась одной половине, то эта половина увеличивалась на размер точки и, таким образом, переставала быть половиной; а если делящая точка не приписывалась ни одной из половин, приходилось увеличивать размер отрезка ('раздвигать' его), чтобы разделить пополам. Поэтому геометры молчаливо (и совершенно обоснованно) принимали, что точка размеров не имеет, хотя такой объект существовать не может.
Эвклид предложил решение проблемы: считать точку объектом, не имеющим частей. Но геометры его не поняли, и сам он, по-видимому, не вполне понимал смысл своего предложения. На деле, Эвклид нащупал путь решения проблемы. Деление объекта на части - как и любое измерение - требует применения эталона; если же самый малый эталон больше измеряемого тела, измерение становится невозможным. В геометрии точку следует рассматривать как объект, который невозможно измерить с помощью имеющихся эталонов. И тогда, добавление или устранение точки не сможет изменить величину отрезка - поскольку точку нельзя измерить, и потому нельзя определить длину отрезка с добавлением или удалением точки. В этом случае величина точки окажется 'пренебрежимо малой'. Такая точка сможет выполнять функции объекта, о котором мечтали геометры - объекта 'без размеров'. Понятие 'пренебрежимо малого' оказывается важным и при решении других проблем геометрии.
Иногда геометры рассматривали точку как объект, имеющий величину. И чтобы решить возникающие при этом проблемы, к аксиомам Эвклида была добавлена аксиома непрерывности (аксиома Дедекинда): 'Если все точки прямой разбить на два класса - I и II так, что любая точка класса II лежит правее любой точки класса I, то либо в классе I есть самая правая точка, и тогда в классе II нет самой левой точки, либо, наоборот, в классе II есть самая левая точка, и тогда в классе I нет самой правой точки'. Эта аксиома должна была решить, в частности, проблему деления отрезка точкой пополам. Но, как было показано ранее, таким образом проблема не решается, здесь необходимо понятие 'пренебрежимо малой' величины точки. Потому данная аксиома есть ненужное теоретическое ухищрение.
Точка геометрическая и точка математическая. Понятие геометрической точки - единственное подтверждение мнения математиков о действительном существовании бесконечности. Они предполагают, будто любой отрезок делим на бесконечное количество частей (точек) - и если держать в руках отрезок, это значит держать в руках бесконечность. Но математики не стали использовать 'неофициальное определение' точки в геометрии ('объект без размеров'); ведь тогда отрезок любой длины тоже будет 'без размеров'. Они предполагают, что точки отрезка - это его бесконечно малые части. Но таковые существовать не способны. Каждая существующая вещь должна иметь определенную величину; но такая величина - уже не бесконечно малая. Чтобы иметь возможность существовать, бесконечно малая вещь должна быть 'меньше самой себя'.
Главное же состоит в том, что физические основания геометрии не допускают существования бесконечно малых частей, отрезков. Самые малые частицы вещества не делятся на части; они исчезают и превращаются в другие, такие же неделимые частицы. Электроны, взаимодействуя с позитронами, исчезают и превращаются в фотоны (аннигиляция), а фотоны, взаимодействуя в особых условиях, превращаются в пару электрон-позитрон.
Предположение о реальном существовании бесконечности порождает в науке абсурдные, неразрешимые противоречия. Если отрезок, например, содержит бесконечное количество точек, то отрезок вдвое больший должен содержать две бесконечности 'точек'?! Чтобы избавиться от этого противоречия, математики изобрели вымученное понятие 'мощности' бесконечности; но это просто выдумка, маскирующая неразрешимое противоречие. То же самое и с бесконечностью натурального ряда чисел. Его бесконечное продолжение всего лишь возможность, причем, возможность нереализуемая: бесконечный натуральный ряд не существует; если бы он существовал, он был бы завершен, бесконечность закончилась бы и тут же перестала быть бесконечностью.
Математики попытались вывести всю математику из теории бесконечных множеств и натолкнулись на неразрешимые противоречия. Это в теории происходит всегда, когда пытаются исходить из чего-то несуществующего и в принципе неспособного существовать.
Геометрическая поверхность. В качестве исходных понятий в геометрии используются так называемые 'основные образы' - точка, прямая, плоскость. Но поскольку, кроме прямой в геометрии используются также ломаные и кривые, понятие 'прямой' следует заменить понятием 'линии'. Точно так же, кроме плоскости в геометрии рассматриваются и криволинейные поверхности, поэтому в составе 'основных образов' должна присутствовать геометрическая поверхность. От 'физической поверхности' геометрическая поверхность отличается, во-первых, тем, что имеет 'пренебрежимо малую' высоту (как геометрическая линия - 'пренебрежимо малую' ширину). Во-вторых, геометрическая поверхность всегда имеет определенную форму в виде правильной геометрической фигуры (например, круг - участок плоскости, ограниченный линией окружности). Комбинация геометрических поверхностей (их замкнутый контур) образует геометрическое тело. Оно отличается от физического тела тем, что для него содержимое объема значения не имеет. Геометрическое тело может быть и 'пустотелым'. Геометрическое тело не относится к базовым понятиям геометрии, не входит в число ее 'основных образов', в силу того, что оно является комбинацией поверхностей.
Геометрические структуры (геометрические фигуры) и геометрические законы. Из различных комбинаций линий и поверхностей образуются многообразные геометрические структуры (геометрические фигуры). Геометрические фигуры подчиняются определенным геометрическим (пространственным) законам. Что такое геометрический закон? Построим треугольник с двумя равными сторонами и тогда два его угла будут необходимо равны. А если построить треугольник с тремя равными углами, все его стороны будут равны между собой. Закон есть необходимое суждение, необходимость - основной признак закона.
Понятие закона имеет в науке неопределенный статус. В физике, например, кроме закона в том же смысле используют понятия 'принцип', 'правило' (например, 'правило левой руки') и т.п. В геометрии вместо понятия 'закон' используются понятия 'аксиома' и 'теорема'. Все это происходит потому, что совершенно неясно, что же такое закон на самом деле.
Для решения проблемы необходимо понять, откуда в законе появляется необходимость. Необходимость рождается из взаимодействия вещей; взаимодействие конкретных вещей (определенного вида) всегда, необходимо, обязательно дает один и тот же результат. Например, электрическая искра, взаимодействуя с динамитом, всегда дает взрыв. Взаимодействие определенных вещей - основной механизм закона и единственный источник необходимости (обязательности, неизбежности события) в действительности.
Что же такое, в таком случае, 'закон'? Закон - это механизм взаимодействия вещей, который определяет его необходимый результат.
В геометрии мы наблюдаем необходимые явления, значит, здесь, как и везде в действительности, действуют законы; они и служат основным предметом изучения в геометрической науке. Однако, механизм действия геометрических законов имеет особенность. Здесь не происходит необходимого изменения вещей! Взамен этого, в результате построения новых геометрических структур из базовых элементов (линий и поверхностей) в этих структурах появляются соответствующие законы. Так, если мы построим прямоугольный треугольник с углом в 30®, то противоположный этому углу катет обязательно будет равен половине гипотенузы.
Принцип наглядности в геометрии. Иногда древние геометры вместо доказательства писали на чертеже только одно слово: 'Смотри!'. То есть, в геометрии существует возможность непосредственного усмотрения геометрических законов. Это и есть принцип 'наглядности' в геометрии. На чем он основан? Основные соотношения в геометрических структурах выражаются в различной протяженности линий. Направление линий корректирует величину протяженности: если линия меняет направление (отклоняется от прямой), то расстояние между точками, которые соединяются линиями, увеличивается. Эти соотношения протяженностей могут схватываться простым наблюдением - например, закон о том, что прямая, соединяющая две точками, короче ломаной, проходящей через эти точки.
Но далеко не всегда такое простое усмотрение геометрических законов возможно. В большинстве случаев нельзя просто увидеть, какие соотношения протяженностей являются законами для данной геометрической структуры. И тогда становится необходимым теоретическое исследование, логическое рассуждение, геометрическое 'доказательство', то есть, вывод данного закона из других законов геометрии.
Однако, любой геометрический закон может и должен быть экспериментально проверен - путем измерений элементов данной геометрической структуры. Возьмем 'гауссову кривизну поверхности': при любом изгибании поверхности (без растяжения) остаются без изменения длины любых кривых, проведенных на данной поверхности, и углы между ними. Это совсем не очевидно, просто увидеть это невозможно, но эксперимент, измерение подтвердит это с полной определенностью. Это и есть основное содержание принципа наглядности (закона геометрического познания): все геометрические законы могут и должны проверяться экспериментом, а именно, измерением соответствующих соотношений в геометрических структурах. Если нельзя проследить направлений линий в данной геометрической структуре (определить углы) и измерить (соотнести количественно) их протяженности, законы такой геометрической структуры познаны быть не могут.
ВИДЫ ПРОСТРАНСТВА И ВИДЫ ГЕОМЕТРИИ
Качество пространства - как и качество любой вещи - определяется его устройством, структурой. Структура пространства образуется телами, погруженными в пустоту. Эти тела могут быть либо неподвижны относительно друг друга, либо перемещаться, причем, перемещаться без остановки. Пространство со структурой первого вида назовем 'телесным', а со структурой второго вида - 'космическим'.
В телесном пространстве возможно образование линий и поверхностей. Здесь следы перемещения тел могут выстраиваться в определенных направлениях, и тогда образуются линии. Сечение тел - как след движения поверхности - образует соответствующие пространственные формы, поверхности. Телесное пространство - наиболее известный нам вид пространства и лучше всего изученный. Здесь в результате движений тел, оставляющих следы, реализуются все законы геометрии Эвклида.
Космическое пространство. В этой области пространства тела не выстраиваются в определенных направлениях в отличие от телесного пространства; там это возможно благодаря следам на неподвижных телах. Здесь мы имеем дело с вечно изменчивой структурой пространства, состоящей из непрерывно движущихся тел. Аналогично выглядит пространство в жидкостях, газах и плазме. В подобных областях пространства отсутствуют линии и поверхности, но все же существуют определенные соотношения в структуре пространства, пространственные законы, а значит - существует и геометрия.
Это становится возможным благодаря тому, что вместо линий здесь существуют псевдолинии. Первый вид псевдолиний - лучи света (потоки фотонов). Луч света это не линия, поскольку он представляет собой пучок фотонов, двигающихся в одном и том же направлении. В отличие от настоящих линий они не могут пересекаться, так как при их пересечении не возникает следов пересечения, не фиксируются точки. Поэтому, из этих псевдолиний не образуются геометрические фигуры.
Тем не менее, с помощью этих псевдолиний фиксируется структура космического пространства, обнаруживается его геометрия. Доказательством является применение метода параллаксов в астрономии для определния расстояний до звезд. Давно найден способ измерения расстояния до недоступно далекого объекта. Для этого измеряется определенный отрезок (базис); с концов этого отрезка определяются направления на данный объект (измеряются углы). Затем по стороне и двум углам строится треугольник, рассчитывается и определяется расстояние от объекта до 'базиса'.
Этот метод называется триангуляцией: с добавлением некоторых процедур он используется в астрономии для нахождения расстояний до звезд (ближайших). Тем не менее, здесь требуется преодоление одной принципиальной трудности: применение параллакс метода требует интервала в несколько месяцев для определения направлений с концов базиса. Если бы объект был неподвижен, это не создавало бы никаких проблем. Но все дело в том, что звезды движутся со скоростью ≈ 300 км/с и уже за один час смещаются приблизительно на 1 миллион километров - что уж говорить о нескольких месяцах. В таком случае не удастся построить треугольник, его стороны, проведенные с концов базиса не сойдутся в одной точке.
Проблема разрешается неожиданным образом. Смещение звезды относительно Земли зависит от угловой скорости звезды. Угловая скорость (ω) прямо пропорциональна линейной скорости объекта (υ) и обратно пропорциональна расстоянию (r) от Земли до звезды. Но дело в том, что даже ближайшая к Земле звезда - альфа Центавра - отстоит от нее на 30 триллионов километров. И если мы поделим скорость звезды (3*102 км/с) на расстояние (3*1012 км/с), то получим, что угловая скорость составит 10-10 (одну десятимиллиардную) градуса в секунду. Такое смещение является 'пренебрежимо малой' величиной, поэтому мы можем не принимать ее во внимание и смело считать звезду неподвижной. И при этом, речь идет о ближайшей к нам звезд, удаленной всего-то на 1 парсек. А имеются звезды, удаленные на сотни и тысячи парсеков (другие галактики удалены на миллионы парсек).
Итак, с помощью псевдолиний на основе квази-неподвижности тел в космическом пространстве возможно построение геометрических фигур (треугольников); с помощью таких построений удается измерить расстояние до некоторых звезд. Заметим, что в телесном пространстве (на Земле, например) возможно построение треугольников любой величины, а в космическом - только из псевдолиний сверхгигантской протяженности. В геометрии космического пространства величина протяженности (длины) приобретает фундаментальное значение: протяженность определенной величины становится условием реализации геометрических законов.
Траектории движения тел в космическом пространстве как второй вид псевдолиний. Траектория движения есть путь, который проделывает тело в пустоте. Как линия, как определенный объект траектория не существует, ибо тело при движении в пустоте не оставляет следов (как это бывает в телесном пространстве). И тем не менее, траектория существует, поскольку она имеет геометрическую форму, подчиняется определенному пространственному (геометрическому) закону; например, траектория движения Земли вокруг Солнца есть эллипс. Каким же образом ничто может все же иметь геометрическую форму?
В данном случае мы имеем дело с 'пространством-временем'. Это понятие возникло в теории относительности Эйнштейна, однако, его трактовка до сих пор оставляет желать лучшего. Пространство-время рассматривали как сумму пространства и времени (или как их единство). Однако, в нем ничего нет от времени. Его содержание полностью описывается геометрическими законами (например, законами эллипса). Точно так же, как в килограммо метрах нет ничего от пространства (от 'метров') - это только энергия; по количеству метров - длине пути - судят только о количестве порций энергии, которые последовательно затрачиваются. То же самое в ватт секундах и киловатт-часах - здесь только ватты (энергия) и никаких секунд.
Какую же роль на самом деле играет время в рамках пространства времени? При движении по траектории тело последовательно занимает места в пустом пространстве. Совокупность этих мест как раз и образует особую пространственную (геометрическую) структуру - псевдолинию. В отличие от физической линии ее элементы не существуют одновременно, и когда 'пространственное место' здесь возникает, место, возникшее ранее, исчезает. Но! - на этой воображаемой линии (траектории) все места в течение определенного времени заполняются - в этом смысле траектория существует как псевдолиния. Если же траектория представляет собой замкнутую линию (псевдолинию), то 'пространственные места' будут снова и снова возникать на ней в определенной последовательности.
Итак, что же в траектории (псевдолинии) определяется временем? Если мы зарегистрируем место, которое здесь занимает движущееся тело, то в зависимости от скорости движения мы сможем определить тот временной интервал, через который тело окажется в любой заданной точке траектории. То есть, роль времени пространстве-времени состоит в том, что оно характеризует последовательность, в которой места возникают на траектории; и значит, без учета этого временного фактора ориентирование в космическом пространстве (относительно траекторий, псевдолиний) невозможно.
Соотношение видов пространства. В телесном пространстве все тела неподвижны относительно друг друга (то есть, расстояния между телами здесь не меняются); в то время как в космическом пространстве расстояния между всеми телами непрерывно изменяются. Какую долю образует телесное пространство в пространстве вообще (имеется в виду известная нам часть Мира - наша Метагалактика), можно оценить следующим образом. Всего вещества в Метагалактике - 10-31 г/см3, а 1 атом вещества приходится на 3 м3 пустоты (см. Силк Дж. Большой Взрыв. - М.: 1982, с. 300). Если радиус атома 10-8 см (одна стомиллионная сантиметра), то объем всех атомов Метагалактики составляет 10-10 (одну десятимиллиардную долю) от всего объема Метагалактики.
Телесное пространство составляет микроскопическую долю известного нам пространства, но основная масса пространственных (геометрических) законов реализуется именно здесь. В космическом пространстве нет линий (только псевдолинии) и поверхностей, а потому мы наблюдаем здесь очень небольшое количество геометрических законов. Пространство в жидкостях, газах и плазме тоже суть космическое пространство (по своей организации).
Существование пустого пространства в чистом виде, без вкраплений тел является открытой проблемой. Если имеются еще и другие метагалактики и расстояния между ними существенно больше, чем размеры самих этих гипотетических метагалактик (как это характерно для галактик, например), то существование областей пустого пространства, намного превосходящих размеры космического пространства в пределах нашей Метагалактики станет реальностью. В пустом пространстве вообще отсутствуют какие бы то ни было пространственные (геометрические) законы; они возникают там только с появлением тел.
К ПРОБЛЕМЕ ТРЕХМЕРНОСТИ ПРОСТРАНСТВА
Постоянно возникают подозрения насчет существования неких ненаблюдаемых областей пространства. Они связаны с положением о 'трехмерности' нашего пространства. Так как нет обоснования, что 'измерений' может быть только три, постоянно пытаются найти пространство, расположенное в 'четвертом' измерении. Создаются физические гипотезы, предполагающие пространство даже шестнадцати измерений! Чтобы разобраться с вопросом, возможно ли пространство с количеством измерений, большим, чем три, проанализируем сам процесс измерения пространства.
Как и все на свете пространство измеряется с помощью эталонов. Рассмотрим сначала процесс измерения площади. В качестве эталона здесь применяется квадрат, определенная геометрическая фигура. Почему квадрат? Потому, что для измерения нужно заполнить всю измеряемую площадь эталонами, причем, так, чтобы между ними не было зазоров (иначе они останутся неучтенными в величине площади). Для этого подходит только квадрат; круги и треугольники, например, не могут плотно прилегать друг к другу. Заполняя измеряемую площадь квадратами-эталонами, мы строим прямоугольник так, чтобы он максимально заполнял измеряемую площадь. Если мы прямоугольник вписываем в круг, например, то остаются незаполненные и неизмеренные сегменты. Тогда мы в этих сегментах снова строим прямоугольники из квадратов меньшего размера - при этом, мы все время стремимся к тому, чтобы квадраты-эталоны прилегали друг к другу без зазоров. Мы повторяем эту процедуру до тех пор, пока в неизмеренных частях не смогут поместиться самые малые квадраты-эталоны, имеющиеся в нашем распоряжении. Последнее означает, что неизмеренные части площади имеют 'пренебрежимо малую' величину, и мы можем не принимать их в расчет при определении величины площади.
При вычислении площади таких прямоугольников мы не пересчитываем число квадратов-эталонов, а просто перемножаем его длину на ширину. Руководствуясь при этом следующими соображениями. Возьмем два параллельных отрезка по 10 см и перемножим их длины; полученный результат 100 см (или 100см2) не будет соответствовать никакой фигуре на чертеже - и само перемножение отрезков никакого смысла не имеет. В случае с прямоугольником, умножая длину на ширину мы, на самом деле, осуществляем подсчет квадратов-эталонов. Как это организуется?
Разместим на одной из сторон прямоугольника колонку квадратов-эталонов. Если это квадраты со стороной в 1 см, то их число будет равно размеру этой стороны прямоугольника в сантиметрах (допустим, это будет 'длина' прямоугольника). Затем на другой стороне, перпендикулярной первой ('ширине' прямоугольника), разместим такие же колонки квадратов-эталонов; число этих колонок будет равно 'ширине' в сантиметрах. Теперь, если мы перемножим число колонок на число квадратов-эталонов в каждой колонке, мы получим число квадратов-эталонов на площади прямоугольника, или величину его площади в квадратных сантиметрах. То есть, умножая 'длину' на 'ширину', мы перемножаем вовсе не длины сторон, а число колонок из эталонов площади на число эталонов в колонке.
Числа, выражающие количество колонок эталонов и количество эталонов в колонке, совпадают с числами, говорящими о длине и ширине прямоугольника. Потому что длину и ширину мы измеряем в тех же единицах протяженности, что и стороны квадратов, которые мы принимаем за эталоны площади. Благодаря этому, нам не приходится заполнять измеряемую площадь квадратами-эталонами для их последующего пересчета, мы просто измеряем длину и ширину и перемножаем соответствующие стороны. Очевидно, что результаты - тождественны.
Итак, измеряя площади прямоугольников мы располагаем группы квадратов-эталонов по двум взаимно перпендикулярным осям ('длине' и 'ширине'); это и есть два 'измерения' пространства. Все другие площади, кроме площадей прямоугольников, мы измеряем, сводя их к сумме площадей соответствующих прямоугольников. Так, площадь параллелограмма мы сводим к площади прямоугольника, а площадь треугольника - к площади параллелограмма.
Рассмотрим теперь измерение пространства как такового, измерение его объема. Здесь применяется другой эталон - куб. Располагая эталоны плотно друг к другу, получают прямоугольный параллелепипед. Если при этом остаются незаполненные анклавы, их заполняют отдельно, применяя кубы-эталоны меньших размеров. Подсчет количества эталонов в параллелепипеде осуществляется по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Сначала на основании параллелепипеда размещают колонку кубов-эталонов - пусть это будет 'длина' - вдоль одного из ребер параллелепипеда. Затем все основание заполняют такими же колонками; число этих колонок будет 'ширина'. Произведение 'длины' на 'ширину' здесь дает не площадь прямоугольника, а объем слоя кубов-эталонов, лежащего на основании параллелепипеда. Затем, вдоль ребра, перпендикулярного двум первым ребрам (это будет 'высота') располагаем слои кубов-эталонов, заполняя весь параллелепипед. Произведение 'длины' на 'ширину' и 'высоту' дает общее количество кубов-эталонов, то есть величину объема. Так в действительности осуществляются 'три измерения пространства'.
Почему же существует только три измерения пространства (объема)? При заполнении измеряемого объема кубами-эталонами строят только законченный прямоугольный параллелепипед. В оставшихся неизмеренных частях объема строят новые параллелепипеды. Число кубов-эталонов в каждом параллелепипеде всего удобнее, экономичнее подсчитывать по трем взаимно перпендикулярным осям. Вот почему при измерении объема пространства используются только три измерения, вот что реально имеется в виду, когда говорят о 'пространстве трех измерений'. Здесь вовсе не идет речь о каких-то трех различных областях пространства. Неточное и неуклюжее выражение 'пространство трех измерений' как раз и порождает необоснованные (и крайне смутные притом) подозрения о существовании 4-го или 16-го измерения, о наличии таинственных областей пространства, существующих неизвестно где.
Конечно, при измерении объема пространства можно измерять число эталонов по какому угодно количеству направлений. Но 3 измерения (подсчета) по взаимно перпендикулярным осям является наиболее экономичным, необходимым и достаточным. Это обстоятельство подчеркивается существованием закона о трех перпендикулярах: через точку пространства можно провести только три взаимно перпендикулярных прямых (каждая из них перпендикулярна двум остальным).
НЕЭВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ
В XIX веке геометры совершили то, что тысячи лет считалось немыслимым - они создали геометрии, отличные от геометрии Эвклида, которая до этого рассматривалась не только как безупречно истинная, но и как единственно возможная. Знаменитый теолог Фома Аквинский, решая проблему, 'что недоступно для Бога', в числе прочих 'невозможностей' указал, что Бог, несмотря на все свое всемогущество не в силах создать треугольник с суммой углов, меньшей 180®. И тем не менее, в конце концов, такие треугольники были построены, и было реализовано множество законов, невозможных в эвклидовой геометрии.
Но до сих пор соотношение между эвклидовой и неэвклидовыми геометриями остается не вполне ясным. Какова причина, база их различий? Появились подозрения, будто неэвклидовы геометрии реализуются в иных, чем наше собственное, пространствах. Эта проблема не может быть решена без использования физических оснований геометрии.
НЕЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО И ПРОБЛЕМА 5-ГО ПОСТУЛАТА ЭВКЛИДА
Первая неэвклидова геометрия родилась из попыток доказать 5-й постулат Эвклида в качестве теоремы. Лобачевский предположил истинность утверждения, противоположного 5-му постулату и начал выводить из него новые теоремы (новые геометрические законы). Он надеялся в качестве следствий получить абсурдные утверждения и, тем самым, доказать истинность 5-го постулата методом 'от противного'. К его изумлению выведение все новых и новых законов к противоречиям не приводило, возникла система новых геометрических законов и тогда Лобачевский понял, что он создал новую геометрию - как потом определили, отличную от эвклидовой. Но сам Лобачевский решил, что он создал геометрию вместо эвклидовой, что истинна именно его геометрия, а не эвклидова.
Весь этот путь Лобачевского был ложным, и в силу своего исходного пункта не мог привести к созданию новой геометрии (хотя, каким-то непостижимым образом это все же случилось). Почему же? - Потому, что 5-й постулат Эвклида неверен и не является геометрическим законом. Покажем это.
Данный постулат выглядит следующим образом: 'Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 2d (180®), то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются и, притом, с той стороны, с которой сумма углов меньше 2d'. Мы рассмотрим данный постулат в другой, более поздней форме, которая проще и яснее выявляет сущность проблемы: 'Перпендикуляр и наклонная к общей секущей, расположенные в одной плоскости, непременно пересекаются с той стороны секущей, где наклон образует с ней острый угол; пересечение происходит при достаточном продолжении наклонной и перпендикуляра'.
Рис. 1
Вот этот-то постулат никак и не удавалось доказать как теорему в течение 2 тысяч лет. А что это значит - доказать теорему, обосновать геометрический закон? - Это значит вывести его из других законов, изобразить механизм его действия с помощью других законов. Закон о пересечении перпендикуляра и наклонной (5-й постулат) опирается на 2 закона. Во-первых, на 'закон острого угла'. Когда перпендикуляр и наклонная к общей секущей пересекаются, возникает треугольник; в нем один угол прямой, а значит, 2 остальных должны быть острыми. 'Закон острого угла' здесь есть закон о сумме углов треугольника в 180®.
Но одного этого закона недостаточно - очень многие наклонные не пересекаются с перпендикуляром и при наличии острого угла. И Эвклид указывает на второй необходимый здесь закон - закон 'достаточного продолжения' этих прямых: перпендикуляр и наклонную надо продолжать столько, 'сколько нужно', и тогда 'они необходимо пересекутся'. Этот закон 'достаточного продолжения' опирается на 2-й постулат Эвклида: 'любую ограниченную прямую можно продолжить неограниченно' .
Для 'достаточного' продолжения перпендикуляра и наклонной (чтобы обеспечить их пересечение) нужна возможность неограниченного продолжения прямых. Но как раз такой возможности в действительности и не существует. Покажем это.
На листе бумаги проведем прямую; когда она достигнет края листа, ее можно будет продолжить по столу. Но вот, когда прямая упрется в край стола, для ее дальнейшего продолжения возникнет непреодолимое препятствие - воздух. Здесь невозможно проводить никакие линии, ибо в воздух движущееся тело не оставляет сохраняющихся следов - физических линий.
Как соотносится возможность неограниченного продолжения прямых с организацией мирового пространства? Вещество здесь составляет - по объему - одну триллионную часть. Остальное - пустота, а в ней линии невозможны. Кроме того, не всякое вещество образует телесное пространство (из твердых тел), где остаются следы движения - линии. Твердых тел в Солнечной системе одна тысячная (а может быть одна миллионная) вещества. Остальное - плазма Солнца и газопылевые облака, где линии невозможны. И не на всяких твердых телах можно провести прямые линии, а только там, где есть плоские поверхности. На криволинейных поверхностях тела постоянно вынуждены менять направление своего движения, а это несовместимо с прямой линией.
На поверхности Земли практически отсутствуют плоскости. Водная гладь? Но на ней не образуются линии. Так что плоскости, в основном, мы создаем искусственно, и они, как правило, имеют небольшие размеры - лист бумаги, стол, пол в здании, спортивные площадки, аэродромы. Автомагистрали длиной в десятки и сотни километров криволинейны, следуя за кривизной Земли.
Итак, в мировом пространстве плоскости образуют лишь крошечные пятнышки, разделенные пустотой. Отсюда и весьма малые возможности 'продолжения' прямых. Каковы должны быть продолжения прямых, чтобы они - во многих случаях - оказались достаточными для пересечения наклонной и перпендикуляра? Представление об этом дает следующий пример. Если наклон наклонной равен 89®59΄59΄΄, а расстояние между основаниями наклонной и перпендикуляра равно 1м, то высота перпендикуляра для обеспечения пересечения с наклонной должна составить 206 км!
Так что, пересечение наклонной и перпендикуляра во многих и многих случаях требует такого 'достаточного' их продолжения, которое является невозможным в пределах плоскости, на которой они находятся; 'достаточные' продолжения в этих случаях наталкиваются на границы плоскостей.
Решая проблему пересечения прямых, проблему определения условий этого пересечения, следует исходить не из 'прямых с продолжением', а из конкретных прямых, всегда имеющих определенный размер, длину. Такое понимание линии следует из закона конечности всякой физической линии: всякое движение, порождающее линию, конечно. А потому и всякая линия - конечна. Исходя из этого понимания, мы увидим, что перпендикуляр и наклонная (с острым углом) пересекаются только при строго определенном соотношении их длин; оно (это соотношение) определяется из решения соответствующего прямоугольного треугольника.
Рис. 2
Если же линии будут короче, то наклонная 'не дотянется' до перпендикуляра. И в действительности на одно такое пересечение приходится великое множество непересекающихся наклонных и соответствующих им перпендикуляров. Проблема пересечения прямых - это не проблема пересечения 'прямых с продолжением', это проблема для конкретных, конечных прямых ( в полном соответствии с законом о конечности всякой линии).
Итак, 2-й постулат Эвклида неверен: не существует возможности неограниченного продолжения прямых; такого геометрического закона в действительности не существует. Для подобного 'неограниченного продолжения' понадобилась бы бесконечная плоскость, в то время как в мировом пространстве имеются лишь крошечные островки плоскостей, разбросанные в нем и разделенные пустотой.
Отсюда следует, что неверен также и 5-й постулат Эвклида; закона пересечения перпендикуляра и наклонной (с острым углом) не существует. Для его реализации потребовалась бы возможность 'достаточного' (в общем случае - неограниченного) продолжения прямых, но эти 'продолжения' в неопределенно большом числе случаев наталкиваются на границы несущих их плоскостей .
Таким образом, общего закона пересечения линий не существует; условия пересечения складываются случайно.
При решении проблемы 5-го постулата в течение двух тысяч лет геометров преследовали неудачи. Почему это происходило? Законы можно обосновывать либо экспериментально, либо выводя их из других законов. Экспериментальный путь был закрыт, ибо не удавалось продемонстрировать пересечение прямых длиной в 200 км. А закон 'достаточного продолжения' линий в действительности не выполнялся (ибо не существовал в действительности). Других же законов, из которых можно было бы вывести 5-й постулат, не обнаружилось. Неудачи с обоснованием 5-го постулата были неизбежны, так как этот закон в действительности отсутствовал.
Пикантность ситуации состоит в том, что Лобачевский исходил не из 5-го постулата Эвклида, а из постулата Прокла, который рассматривался как эквивалент эвклидова постулата. Но это совсем не так. В 5-м постулате Эвклида ничего не говорится о параллельных линиях.
Рис. 3
Сумма внутренних углов здесь меньше 180®. А постулат Прокла предполагает совершенно иное содержание.
Рис. 4
Это геометрическое предложение содержит в себе не постулат, а 2 теоремы: в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом, только одну.
Первая теорема о возможности проведения прямой, параллельной данной, у Эвклида доказана: к одной прямой проводится два перпендикуляра; они будут параллельными, непересекающимися ни при каких условиях. В противном случае, из одной точки можно было бы опустить на прямую 2 перпендикуляра, что противоречит ранее доказанной теореме (о свойствах перпендикуляра).
Рис. 5
Вот почему 5-й постулат опирается на сумму внутренних углов менее 180®. Если она равна 180®, то линии параллельны и пересекаться не могут.
Вторя теорема, содержащаяся в 'постулате' Прокла - 'можно провести только одну параллельную' - тоже имеет доказательство в геометрии Эвклида. Если мы через точку вне данной прямой захотим провести еще одну параллельную, нам придется через эту точку провести еще один перпендикуляр (к прямой, пересекающей обе параллельные). Но это невозможно, так как из точки можно восставить (и опустить) только один перпендикуляр.
Поэтому, опираясь на постулат Прокла, Лобачевский как будто не мог использовать 5-й постулат Эвклида, где говорится не о параллельных (непересекающихся) прямых, а как раз о прямых пересекающихся. Однако, здесь имеется нюанс.
Если бы Лобачевский начал построение своей геометрии с постулата, обратного 'постулату' Прокла, он должен был бы говорить о возможности проведения через точку вне данной прямой двух параллельных линий (перпендикуляров). Вместо этого он говорит о возможности того, что наклонная (с острым углом) не пересечется с перпендикуляром к той же прямой. В этой ситуации он различает 'параллельные' и 'непересекающиеся' линии. А у Прокла речь идет только о параллельных линиях. Значит, Лобачевский исходит все-таки из 5-го постулата Эвклида и на основе обратного ему постулата строит свою геометрию. Лобачевский исходил из 5-го постулата Эвклида, 'замаскированного' под 'постулат' Прокла, что, конечно же, придает его построению весьма запутанный вид.
Тем не менее, 5-й постулат Эвклида не мог служить исходным пунктом для геометрии Лобачевского, так как он не является геометрическим законом; и для него поэтому нельзя построить 'обратный' постулат. Но геометрия, созданная Лобачевским, потерпела крах не потому, что она опиралась на несуществующий геометрический закон, а по другой причине. На нее мы укажем в дальнейшем.
ЗЛОКЛЮЧЕНИЯ НЕЭВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
ЛОБАЧЕВСКОГО
Трудности с пониманием неэвклидовой геометрии сохраняются до сих пор. Они связаны с поисками области ее применения, и со всей силой проявились в попытках истолкования геометрии Лобачевского. В этой геометрии сумма углов треугольника была менее 180®; причем, в разных треугольниках эта сумма была различной. Поэтому здесь не существовало подобных треугольников. Невозможны были также любые прямоугольники; и не через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно было провести окружность.
Часто высказывается мнение, будто он создал геометрию, 'равноправную' с эвклидовой; в действительности же, сам он считал эвклидову геометрию ошибочной, а свою - истинной! Как же он решился на подобное утверждение, если он не мог построить геометрические фигуры, подчиняющиеся законам его геометрии?! Лобачевский оправдывался тем, что эвклидова геометрия верна приблизительно на малых расстояниях, а на гигантских расстояниях - в космосе - обнаруживается истинность его геометрии.
Но попытка экспериментального подтверждения утверждения Лобачевского провалилась, сумма углов космических треугольников оказалась равной 180®. И Лобачевский был вынужден заявить, что в действительности справедливой является эвклидова геометрия, а его геометрия - 'воображаемая'.
Геометры не просто выразили недоверие Лобачевскому - они пришли в ярость. Автора прямо называли сумасшедшим. Все предприятие выглядело трагикомичным. Лобачевский чертил кривые и предлагал считать их прямыми! Область применения новой геометрии отсутствовала. И главное, Лобачевский покушался на эвклидову геометрию, которая в течение многих веков почиталась образцом истинности и научности. Считалось, что даже Бог ничего не может поделать с законами Эвклида.
Особенно возмутило геометров то, что Лобачевский, в конце концов, назвал свою геометрию 'воображаемой'. Воображаемое истинным не является; в лучшем случае, это гипотеза, которая не нашла подтверждения; ее надо без сожаления отбросить и забыть. Таким образом, казалось, что геометрия Лобачевского потерпела полный крах.
Но прошло совсем немного времени, и она возродилась из пепла подобно мифической птице Феникс. Сначала Ф.Г. Миндинг начал исследовать свойства треугольников на псевдосфере - криволинейной поверхности с постоянной отрицательной кривизной (вогнутой). А затем Э. Бельтрами увидел, что тригонометрические соотношения, открытые Миндингом, совпадают с законами геометрии Лобачевского. И Бельтрами доказал, что все законы геометрии Лобачевского реализуются на псевдосфере, то есть, была найдена та область пространства, где эта поразительная геометрия является действительной!
Лобачевский только 'изобрел', угадал свою геометрию, открыл ее Бельтрами, так как он нашел область ее применения и, тем самым, установил ее реальность. Так что, по справедливости, следовало бы говорить о геометрии Лобачевского-Бельтрами.
Все же геометры не признали открытия Бельтрами на том основании, что псевдосфера представляет собой крошечную частичку 'плоскости' Лобачевского. Ведь Лобачевский настаивал на том, что законы его геометрии реализуются лишь на гигантских расстояниях. Злоключения этой неэвклидовой геометрии продолжались.
Новую интерпретацию геометрии Лобачевского предложили Ф. Клейн и А. Кэли, причем, они доказывали, что она реализуется на плоскости! Эти ученые рассматривали плоскость круга - без ограничивающей его окружности. Эту окружность назвали 'абсолютом' и предложили рассматривать точки этой окружности как 'бесконечно удаленные' (как в геометрии Лобачевского). Затем с помощью приемов 'проективной геометрии' доказывали справедливость законов геометрии Лобачевского для плоскости. Современная геометрия считает это истинной и окончательной интерпретацией геометрии Лобачевского. А также окончательным решением проблемы пятого постулата Эвклида.
О СУЩНОСТИ НЕЭВКЛИДОВЫХ ГЕОМЕТРИЙ
Причиной полемики геометров вокруг проблем неэвклидовых геометрий является непонимание их сущности. Главное, что здесь надлежит понять - причины различий эвклидовой и неэвклидовых геометрий. Ключом в этом смысле является открытая 'во-вторых' неэвклидова геометрия Римана, позже отождествленная со сферической геометрией. В этой геометрии суммы углов у разных треугольников тоже были разными; только все эти суммы, в отличие от геометрии Лобачевского, были более 180®. Здесь также не было прямоугольников и подобных треугольников.
Осознание этой геометрии позволяет проникнуть в тайну 'неэвклидовости'. После отождествления геометрии Римана со 'сферической геометрией' стало ясно, что она реализуется на криволинейной поверхности. А на такой поверхности могут существовать только кривые линии и только криволинейные геометрические фигуры.
Это следует из физических оснований геометрии, из законов движения тел по криволинейным поверхностям. Криволинейные поверхности оказывают непрерывное силовое воздействие на движущиеся по ним тела и заставляют их непрерывно менять направление траектории движения; а потому меняется и направление линии, которая остается как след движения. Форма линий определяется формой криволинейной поверхности. Прямые же линии на такой поверхности невозможны, как невозможно здесь движение, не меняющее направления.
Итак, сферическая геометрия (неэвклидова геометрия Римана) криволинейна. Какова же связь криволинейности и 'неэвклидовости'? Она проявляется через свойства криволинейного угла. Построим криволинейный угол и пересечем его двумя параллельными линиями.
Рис. 6
Если бы угол был прямолинейным, то А = С, а В = Д. Но кривые линии постоянно меняют свое направление. Поэтому направления линий в точках А и С будут различными, то есть эти углы не будут равны друг другу. Поэтому сумма углов ∆АОВ будет отличаться от суммы углов ∆СОД. А если бы линии были прямыми, то эти треугольники были бы подобными, а суммы их углов - равными. Отсюда видно, что различие законов эвклидовой и неэвклидовых геометрий порождаются различием прямых и кривых линий, из которых образуются геометрические структуры в этих геометриях. Именно поэтому сумма углов в треугольниках неэвклидовых геометрий отличается от 180®, от суммы, которая обязательна в эвклидовой геометрии (этот признак - ее визитная карточка). На выпуклой криволинейной поверхности сумма углов будет более 180®, а на вогнутой - менее 180®.
На плоскости также возможна неэвклидова геометрия (и, может быть, даже не одна), так как здесь возможны криволинейные геометрические фигуры.
Так что правильной является интерпретация неэвклидовой геометрии Лобачевского у Бельтрами, а не у Клейна и Кэли. Ибо Бельтрами размещает геометрию Лобачевского на псевдосфере, криволинейной поверхности, что предполагает криволинейность этой геометрии. Современные геометры предполагают, что интерпретация Бельтрами неверна, так как 'плоскость Лобачевского' бесконечна, а псевдосфера этому условию не соответствует. На это можно ответить, что поверхность сферы всегда конечна, однако на ней несомненно реализуется неэвклидова геометрия Римана. Так что конечность псевдосферы не является препятствием для реализации геометрии Лобачевского.
Кроме того, существование бесконечной плоскости невозможно, и опять-таки по физическим причинам. Плоскость может существовать только на поверхности твердых тел, а все тела в известной нам части Вселенной (в нашей Метагалактике) составляют лишь одну триллионную часть, остальное пространство занимает пустота. А в пустоте не существует ни плоскостей, ни каких либо поверхностей вообще.
Современные геометры считают, что интерпретация геометрии Лобачевского у Клейна и Кэли позволила также решить проблему 5-го постулата Эвклида в том духе, что в эвклидовой геометрии и в геометрии Лобачевского существуют свои виды 5-го постулата. Но постулат - это закон геометрии, принимаемый без обоснования (доказательства). А такого закона не существует, предположение, высказанное Эвклидом, ошибочно (это мы показали ранее). Решение тысячелетней проблемы состоит в том, что такой проблемы не существует.
ГЛАВНАЯ ЗАГАДКА НЕЭВКЛИДОВЫХ ГЕОМЕТРИЙ
Появление неэвклидовой геометрии Лобачевского вызвало ожесточенное сопротивление геометров, категорическое несогласие с ней. Чем это было вызвано? Непониманием гениального открытия? Нет! Предложенная Лобачевским теоретическая конструкция была абсурдной! В чем заключался абсурд? Лобачевский попытался представить геометрические структуры, геометрические фигуры, составленными из прямых линий, но подчиняющимися законам криволинейной геометрии. Однако, осуществить это невозможно; именно из-за этого он был вынужден чертить кривые линии, предлагая 'считать' их прямыми. В этом геометрия Лобачевского была похожа на систему Гегеля, которую при должном рассмотрении начали именовать 'колоссальным недоноском'.
Удивительно, но точно в такую же ловушку - приблизительно в то же время - попали два других геометра, великий Гаусс и Бойяи. А позже - Риман, создававший другую, но тоже неэвклидову геометрию. Причем, эта 'Риманова геометрия' была открыта задолго до Римана, и этот анекдотический случай стал возможным только потому, что Риман тоже пытался изобразить криволинейную геометрию с помощью прямых линий. Вот у него и получилось нечто 'невообразимое', то, что потом с трудом отождествили со сферической геометрией. Достойно удивления то, что Риман, оперируя представлениями о прямых линиях (как и Лобачевский) сумел угадать законы криволинейной геометрии.
Почему имели место такие странные формы геометрического исследования? - Мыслители, которые нащупывали новые пути в геометрии, не могли поверить, что геометрия возможна вовсе без прямых линий (как, например, музыка невозможна без звуков).
Следующее поколение геометров сумело избавиться от абсурда в неэвклидовых геометриях. 'Ремонт' системы Лобачевского произвел Э.Бельтрами. Он понял, что она реализуется в рамках особой пространственной формы - на криволинейной поверхности отрицательной кривизны (псевдосфере). И тогда оказалось, что вовсе нет нужды выдавать кривые за прямые, что возможно ранее невообразимое - начертить треугольник с суммой углов менее 180® и созерцать его; геометрия вернулась в лоно принципа 'наблюдаемости' и перестала строиться из вымышленных фигур.
Примечание. О роли Лобачевского в развитии геометрии. Лобачевский создал первую в истории науки геометрию, отличную от эвклидовой и, тем самым, раздвинул горизонты познания, достиг того, что казалось невозможным, невероятным тысячи лет; он нашел золотой ключик к двери в мир неэвклидовых геометрий. Правда, он находился в положении Карабаса-Барабаса: было неизвестно, где находится сама эта дверь. Причем, его положение было еще худшим: он не знал, существует ли вообще нужная дверь; его идеи были отвергнуты наукой.
И тем не менее, восторгает его беспримерная научная смелость - несмотря на шаткость своих позиций, он опубликовал свою гипотезу (на что не решился великий Гаусс!), и именно так он проложил дорогу к открытию неэвклидовых геометрий. Благодаря этому Бельтрами начал искать область существования геометрии Лобачевского.
Лобачевский не только 'изобрел' новую геометрию, которую благодаря этому затем смогли открыть. Он догадался, что геометрию надо выводить из физических законов пространства, что его вызывающе невероятная геометрия порождается особыми законами пространства, которые еще не удалось установить. Правда, сам он эти законы не нашел и думал (сначала), что все пространство порождает именно его геометрию, а потом был вынужден согласиться на ее 'воображаемый' характер. И тем не менее, именно так зародилась идея о необходимости физического обоснования геометрии.
Откуда взялась такая смелость у Лобачевского? Он не мог поверить, что системе взаимосвязанных законов не соответствуют никакие реальные явления действительности.
О ТАК НАЗЫВАЕМОМ АКСИОМАТИЧЕСКОМ
ПОСТРОЕНИИ ГЕОМЕТРИИ
Геометрия - единственный образец науки, построенной аксиоматически. (Одно время казалось, что математику тоже можно построить аксиоматически, опираясь на теорию множеств, но обнаруженные там парадоксы покончили с этими надеждами. Что же касается математической логики, то существуют сомнения в ее научном статусе: отражают ли ее построения действительность или же являются чисто формальными построениями, то есть выдумками.) Аксиоматическое построение считается основой совершенства геометрии как науки. (Уверенность в совершенной строгости геометрии сквозит в следующем высказывании: 'Если бы аксиомы геометрии задевали интересы людей, их принялись бы опровергать'.)
Что же такое аксиоматическое построение науки? Аксиомы - это законы действительности, знание которых основано на интуиции; эти знания принимаются без обоснования и доказательств. Аксиоматический метод построения науки (в том числе и геометрии) предполагает, что вся система законов научной теории выводится из небольшого количества исходных законов (аксиом). 'Выведение' же означает, что все последующие законы строятся 'при опоре' на предыдущие, исходные законы. Считается, что именно аксиомы в качестве оснований науки делают геометрию особенно стройной и доказательной. Однако, аксиоматическое построение геометрии есть иллюзия.
Во-первых, обратим внимание на состав аксиоматики эвклидовой геометрии. Аксиом (постулатов) у Эвклида всего 5 (остальные его аксиомы имеют общенаучное значение и не могут служить конструкционным материалом для построения геометрии). Из этих пяти аксиом три не могут служить в качестве оснований геометрии. Второй постулат (прямую можно неограниченно продолжать), как показано ранее, неверен. На него опирается 5-й постулат, и потому он тоже несостоятелен. Четвертый постулат (о равенстве всех прямых углов) доказан был позже как теорема, и потому не может входить в состав аксиоматической базы геометрии. А если три из пяти постулатов непригодны, аксиоматическое построение геометрии становится невозможным. Все это означает, что геометрия Эвклида строилась вовсе не из его 5 аксиом (постулатов).
Как же она 'строилась'? Возьмем одну из самых ранних теорем: 'Из всякой точки прямой можно восставить к ней перпендикуляр и притом только один'. Предлагается следующая процедура доказательства.
Рис. 7
Проведем из точки О произвольную прямую ОС и пусть АОС будет меньше угла СОВ. Станем вращать прямую ОС в направлении, указанном стрелкой. Тогда СОА будет непрерывно увеличиваться, а СОВ непрерывно уменьшаться и может быть сделан сколь угодно малым. Из этого следует, что при вращении прямая ОС должна занять такое положение, при котором углы АОД и ДОВ окажутся равными; тогда ОД и будет перпендикуляром к АВ (ибо перпендикуляр есть общая сторона двух равных углов). Так как при всяком ином положении вращающейся прямой ОС равенство между смежными углами нарушается, то нельзя восставить другой перпендикуляр к АВ из точки О.
Как видим, при доказательстве этой теоремы (обосновании данного геометрического закона) аксиомы не только не применяются, но даже и не упоминаются. Каким же образом осуществляется доказательство? - На основе геометрического эксперимента. Различными способами комбинируются прямые линии, осуществляется их перемещение и при созерцании возникающих геометрических структур осуществляются интуитивные заключения о содержании геометрических законов, относящихся к получаемым геометрическим фигурам. Именно в таком духе действовали геометры в древности, когда вместо доказательства писали на чертеже: 'Смотри!'.
При доказательстве указанной теоремы используется понятие смежных углов. Этому понятию соответствует не теорема, не аксиома, а 'определение'. Это тоже форма выражения геометрического закона - как 'теорема' и 'аксиома'. Получен этот закон с помощью построения, геометрического эксперимента - строятся две пересекающиеся прямые. Закон смежных углов состоит в том, что в сумме они составляют 180®.
Вторую часть теоремы о перпендикуляре (из данной точки на прямой можно восставить только один перпендикуляр) можно было бы доказать как раз с помощью одной из аксиом Эвклида - аксиомы о прямой. У Эвклида она существует в двух формах: ?1 'Через две точки всегда можно провести прямую и притом только одну' и ?2 'Прямая есть линия, которая одинаково расположена по отношению к точкам на ней'. Обе формулировки выражают один и тот же геометрический закон о том, что всякая прямая имеет определенное неизменное направление. Он следует из закона движения по инерции: движение, которое возникает из одного-единственного импульса силы не меняет направление траектории полученное в результате этого импульса; потому и след движения, который оставляет движущееся тело на твердой поверхности - прямая линия - не меняет своего направления.
Для доказательства на чертеже (Рис. 7) проведем прямую ОК. Она образует с АВ иной угол, чем перпендикуляр ОД. Так как каждая прямая имеет соответственное и неизменное направление; если же направления прямых, проведенный через одну точку, совпадают, то это - одна и та же прямая (а не разные прямые, как у нас) или прямые, продолжающие одна другую. Если угол иной, то он отличается от прямого угла, и тогда прямая ОК не будет перпендикуляром, так как перпендикуляр есть прямая, разделяющая равные смежные углы, то есть углы по 90®.
Эвклид не смог использовать аксиому прямых для доказательства этой части теоремы, так как геометрический закон, который в ней содержится, был выражен очень смутно, неясно. Что значит 'прямая есть линия, которая одинаково расположена по отношению к точкам на ней'? Здесь не так просто сообразить, что речь идет о неизменности направления прямой при ее проведении от точки к точке. А аксиома, гласящая, что 'через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну', говорит о том, что вторая точка указывает направление прямой, проведенной из данной точки.
Отсюда следует, что аксиомы - ненадежный инструмент научного познания, так как интуиция неточно схватывает содержание объективных законов. Так что аксиоматическое построение теории вовсе не является оптимальным способом ее построения.
Геометрический эксперимент как способ обоснования геометрических законов применяется не только начальных стадиях развертывания системы геометрии, но практически на всех этапах этого процесса. Возьмем, например, теорему о сумме углов треугольника - это ключевая теорема для эвклидовой геометрии; здесь наиболее отчетливо обнаруживается ее отличие от геометрий неэвклидовых. В этой теореме для доказательства осуществляются дополнительные построения - продлевают одну сторону треугольника и проводят прямую, параллельную его другой стороне. Кроме геометрического эксперимента здесь используется и логический вывод (теоретическое рассуждение) с использованием ранее установленных геометрических законов (о равенстве соответственных углов и накрест лежащих углов при параллельных прямых).
Если дело не в аксиоматическом построении геометрии, то откуда же берется впечатление о ее особой стройности и достоверности? По-видимому, здесь дело в простоте пространственных отношений, пространственных структур. Последние образуются линиями, а существование линий определяется всего-навсего двумя законами: протяженности (всегда ограниченной) и направления. С особенностями пространственных структур связана и 'наглядность' геометрии. Все ее законы легко проверяются и удостоверяются измерением (сопоставлением) протяженности линий и величин углов.
Таким образом, убеждение в аксиоматическом построении геометрии есть иллюзия. Во-первых, реально эвклидова геометрия во времена Эвклида строилась, как показано выше, вовсе не из аксиом, а другими способами. Во-вторых, аксиомы как орудия познания не могут обеспечить достаточную эффективность исследования объективных законов, ибо они представляют собой 'смутное знание'. Хотя в науке приходится пользоваться аксиомами, интуитивным знанием. Например, положением о том, что две величины, порознь равные третьей, равны между собой. Известно, какую колоссальную роль сыграли в физике аксиомы о постоянстве скорости света и о предельной величине скорости света. Или 'запрет Паули', гласящий, что в квантовом ансамбле микрочастицы не могут находиться в одинаковых состояниях.
Действительный способ построения эвклидовой геометрии. Итак, известные аксиомы (постулаты) не могли служить основой построения геометрии Эвклида. На самом деле, такой основой служат три закона прямой линии: а) закон протяженности прямой; б) закон ограниченной протяженности прямой; в) закон направления прямой. Комбинирование прямых в ходе геометрических экспериментов позволяет построить множество геометрических фигур, и все они образованы из прямых ограниченной протяженности - в соответствии с законом об ограниченной протяженности линий. Во многих случаях удалось обнаружить законы строения этих геометрических фигур. Часть этих законов была найдена с помощью геометрической интуиции - их можно считать аксиомами. Другие законы - их, по-видимому, подавляющее большинство - были открыты с помощью законов, которые были обнаружены раньше них.
СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА И СУЩНОСТЬ ГЕОМЕТРИИ
Основное свойство пространства состоит в том, что оно способно 'вмещать' в себе тела, содержать их, служить 'местом' для тел. Количественной характеристикой пространства является его протяженность. Протяженность выражается физическими линиями - следами движения тел по твердым поверхностям. Линия олицетворяет, 'материализует' протяженность, представляет ее в 'вещном' виде. Только таким образом величина протяженности приобретает определенность.
Протяженность в космическом пространстве измеряется опосредованно, на базе измерений в телесном пространстве. С использованием данных о протяженности (длине пути) на твердой поверхности измеряется скорость твердого тела. Затем эта постоянная скорость используется в качестве эталонной; при движении от одного тела к другому в космическом пространстве эта скорость умножается на время движения и таким образом определяется искомая протяженность (длина пути). То есть, сначала устанавливается соотношение скорости с протяженностью в телесном пространстве, а уже затем определяется протяженность в космическом пространстве. А протяженность в пустом пространстве без опоры на измерение неподвижных тел в телесном пространстве и на подвижные тела в космическом пространстве установить невозможно.
Протяженность линии (ее первый закон) зависит от направления линии (ее второй закон). Если линия, соединяющая две точки пространства, неизменна по направлению, то ее протяженность будет наименьшей (кратчайшей). А если направление линии меняется (= ломаная, кривая), то ее протяженность увеличивается по сравнению с прямой. Третий основной закон линии - конечность ее протяженности, длины - в силу конечности любого движения, порождающего линию.
Протяженность (площадь) поверхности определяется через протяженность линий, ограничивающих данную поверхность, а протяженность (объем) тела - через протяженности линий, фиксирующих контуры тела. Объемы в космическом пространстве определяются через объемы в телесном пространстве. Оттуда берутся кубические метры и кубические километры.
В физических линиях проявляются пространственные отношения. Отношение - это возможность взаимодействия. Чем больше расстояние между телами (протяженность линии), тем меньше возможность взаимодействия тел.
Геометрическая линия есть понятие (абстракция), которая фиксирует одно из свойств физической линии - ее протяженность (длину). Здесь не принимается во внимание ширина (объем) физической линии. Древние геометры угадали сущность геометрической линии, определив ее как длину без ширины. А современные геометры от этой догадки отказались, так как не умели соотнести понятие геометрической линии с реально существующими объектами.
Итак, геометрия есть наука о структуре пространства. Структура пространства образуется физическими телами. Основным элементом этой структуры является линия. Она выражается количественную характеристику пространства, его протяженность, а также такое свойство пространственной структуры, как направление. Из комбинаций линий возникают геометрические структуры - геометрические фигуры; законы строения этих фигур образуют основное содержание геометрии как науки. Геометрические законы имеют своим фундаментом законы физические. Без опоры на физические понятия (законы) структура геометрии не может быть упорядочена и объяснена.
ПРИЛОЖЕНИЕ
О криволинейности трехмерного пространства и неэвклидовой геометрии для него в общей теории относительности (ОТО)
Все известные неэвклидовы геометрии суть геометрии для поверхностей. Исключение составляет неэвклидова геометрия криволинейного трехмерного пространства (или четырехмерного пространства-времени). Однако, космическое пространство, о котором трактует ОТО, криволинейным не является, и следовательно, для него не существует особой неэвклидовой геометрии.
Физическая модель (физический механизм) ОТО предполагает искривленность трехмерного пространства, но в рамках этой модели криволинейное пространство существовать не может; этому препятствуют надежно установленные физические законы.
Согласно ОТО физические тела искривляют пространство - и не действием особых сил (гравитационных), а просто 'благодаря своему присутствию'; по Эйнштейну, криволинейное пространство возникает вместе с телами. В искривленном пространстве тела движутся по кратчайшим ('геодезическим') линиям, и эти линии - кривые. Причем, они движутся не под действием сил, а 'свободно', инерциально. В этом пункте ОТО ошибочна, что видно из экспериментов с искусственными спутниками Земли. Спутник движется в космосе по кривой вовсе не 'свободно', а под действием, по крайней мере, двух сил. Одна из них - сила ракетного двигателя, которая обеспечивает спутнику определенную скорость (8 км/с); а вторая - сила притяжения Земли.
'Свободное' движение тел в космосе ('инерциальное') вовсе не является движением 'без приложения сил', Если по плоскости движутся два одинаковых шара с равными массами, в каком случае у одного из них скорость будет в два раза больше? Для этого необходимо действие вдвое большей силы. В чем состоит 'действие силы'? Оно сообщает телу дополнительную кинетическую энергию; кинетическая энергия и обеспечивает движение тела по инерции. Для движения тела по инерции с удвоенной скоростью нужно удвоить его энергию. Кинетическая энергия определенной величины нужна для того, чтобы обеспечить инерциальное движение с соответствующей скоростью; и замечательно то, что энергия при этом не расходуется. Считается, что движение по инерции осуществляется 'без приложения силы'. Но это создает ошибочное впечатление. Ведь 'приложение силы' есть сообщение телу кинетической энергии; тела движутся 'под действием сил' потому, что им в момент 'приложения силы' (например, толчка) сообщается кинетическая энергия. Суть дела не в 'силе', а в кинетической энергии; тела движутся не под действием сил, а на основе воздействия кинетической энергии.
При этом, все тела, всегда движутся по инерции и по прямым линиям. Кинетическая энергия всегда характеризуется определенным импульсом, из-за чего направление движения не меняется и оно осуществляется по прямой. Когда на тело действует новая сила, направление его движения меняется; но это новое движение снова происходит по прямой и снова с неизменной (хотя и другой) скоростью.
Итак, планеты, обладая кинетической энергией, на самом деле движутся инерциально и по прямой, а гравитационная сила (по Ньютону) искривляет это движение. В ОТО движение планет должно искривляться криволинейным пространством. По кривой планеты не могут двигаться 'свободно'; с прямого пути их должна 'сбивать' какая-то сила.
Может ли эта сила быть действием криволинейного пространства? Как вообще пространство может изменить направление движения тела? Согласно имеющимся у нас сведениям - только одним способом: с помощью криволинейной поверхности. В популярных разъяснениях ОТО как раз и используется образ натянутого полотна, в котором более массивные тела делают ямы, а менее массивные в эти ямы скатываются.
Двигаясь по инерции (и по прямой), тело встречает на своем пути 'горбы' криволинейной поверхности и меняет направление своего прямолинейного движения. А криволинейное движение - это, как раз, и есть регулярное изменение направления. Только так, согласно известным нам законам, пространство может изменить прямолинейное движение на криволинейное.
Но в этом случае поверхность должна быть непроницаемой для тел, быть способной оказывать им сопротивление. Иначе тело просто пронесется сквозь горб на поверхности, а изменить направление движения не удастся. Такие непроницаемые для тел поверхности должны проходить через каждую точку пространства, иначе нельзя будет обеспечить криволинейное движение всех планет, комет, астероидов и т.д. Однако, в таком случае эти непроницаемые поверхности заполнят сплошь все пространство, и всякое движение тел станет в нем невозможным. Отсюда следует, что физический механизм ОТО нереализуем.
На аналогичные трудности натолкнулась другая модель космического пространства - у Декарта. Он предположил, что планеты движимы по криволинейным орбитам вихрями телесных частиц. Но оказалось, что кометы свободно пролетают сквозь плоскость вращения планет, не замечая эти 'могущественные' вихри; и гипотеза потерпела крах. В космосе механизмы вращения планет, основанные на непроницаемых поверхностях (сферах) не существуют в действительности и невозможны теоретически.
Физическая модель ОТО невозможна еще и по другой причине. Она предполагает, что тела воздействуют на пространство и деформируют его. Но пространство - это пустота, ничто. Это надежно подтверждено бесчисленным количеством экспериментов: в пространстве тела движутся, перемещаются, и они не могут двигаться 'сквозь' другие тела. Тела лишь 'армируют' пустоту, создавая структуру пространства. Действие тел на пустоту изменить последнюю не могут. Пустота не имеет свойств, и потому ее нельзя изменить, из действия тел ничего криволинейного возникнуть не может. Как известно со времен Шекспира 'из ничего не будет ничего'!
НЕЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ И КОСМИЧЕСКОЕ
ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Официально считается, что ОТО для 3-мерного пространства (4-мерного пространства-времени) применяется неэвклидова геометрия Римана. Однако, в действительности это невозможно. Во-первых, геометрия Римана - это геометрия не пространства, а поверхности (сам Риман думал, что его неэвклидова геометрия выполняется на плоскости - так же, как и Лобачевский; но впоследствии оказалось, что она применима только на сфере, на поверхности шара). Так что Эйнштейн не мог использовать геометрию Римана для описания соотношений в 3-мерном пространстве.
Речь может идти лишь об одной из идей Римана, связанной с понятием 'внутренней кривизны' криволинейной поверхности у Гаусса. Риман предположил, что метод расчета этой 'внутренней кривизны' пригоден не только для поверхности ('2-мерного' пространства), но и для 3-мерного, а также4-мерного, 5-мерного, 16-мерного и n-мерного пространств. Это предположение Римана является ошибочным.
Метод Гаусса предполагает, что через точку на данной криволинейной поверхности проводятся все возможные кривые, а затем ко всем ним проводятся касательные. Гаусс доказал, что все эти касательные лежат в одной плоскости. К этой плоскости проводится перпендикуляр (нормаль). После чего выполняется еще ряд построений, которые позволяют определить наибольший и наименьший 'радиусы кривизны'. На основе полученных данных выписывается формула 'внутренней кривизны' поверхности. И вот Риман полагал, что если в эту формулу добавить нужное число членов, то можно будет вычислить 'внутреннюю кривизну' 3-, 16- и n-мерного пространств.
Однако, метод Гаусса к определению кривизны трехмерного пространства неприменим. Неосуществимым оказывается уже первый шаг. Если мы проводим все возможные кривые через точку на криволинейной поверхности, то их форма будет определяться формой этой поверхности. А если мы будем проводить 'все возможные кривые' через точку в пространстве, то они просто заполнят все пространство. То же самое сделают и касательные к ним; и тогда через эти касательные нельзя будет провести плоскость, провести к ней перпендикуляр и определить наибольший и наименьший радиусы кривизны. Создание формулы для вычисления 'внутренней кривизны' пространства окажется невозможным. Все это означает, что искривленного пространства не существует, а значит, не существует и специальной неэвклидовой геометрии для него.
Один комментатор ОТО полагает, что для измерения кривизны пространства по методу Гаусса надо построить 'плоское' 4-мерное 'пространство', касательное к 4-мерному искривленному пространству, но понимает, при этом, что осуществить подобное построение невозможно (см. Кузнецов Б.Г. Беседы о теории относительности. - М.: Изд-во АН СССР, 1960, с. 201). Взамен он предлагает другой способ установления кривизны пространства и установления ее величины: измерить (в космосе) сумму углов треугольника. Если она будет отличаться от 180®, пространство будет криволинейным. Предлагается 'обходной' путь определения кривизны пространства, так как метод Гаусса оказывается неприменим.
К этому способу доказательства истинности своей геометрии прибегал и Лобачевский; к его разочарования, сумма углов космического треугольника оказалась равной 180®. В самое последнее время на основе современнейших методов была измерена сумма углов космического треугольника размерами с видимую Вселенную; длины его сторон достигали 14 млрд. световых лет (до краев Метагалактики - видимых). Сумма углов такого треугольника снова оказалась равной 180®. Так что космическое пространство, вопреки Эйнштейну оказалось 'плоским', прямым, эвклидовым. В искривленном пространстве невозможно построить треугольник с суммой углов равной 180®. А раз не существует искривленного пространства, то нет и соответствующей ему (неэвклидовой) геометрии.
Геометрия и математика. Риман полагал, что по формуле, предложенной Гауссом для вычисления 'внутренней кривизны' поверхности (двумерного пространства), можно вычислить и кривизну пространства любой 'мерности', если добавить в формулу соответствующее число членов. Но здесь Риман ошибся. Если возвести ребро куба в третью степень, мы получим объем куба. А если его возвести в четвертую степень? - Не получим ничего, кроме абсурда.
Вычисление кривизны 3-мерного пространства невозможно, ибо невозможно построить геометрическую модель искривленного пространства. В пространстве могут искривляться только линии и поверхности, а само пространство на это не способно, ибо оно есть пустота, ничто, и оно не может изменяться никоим образом.
Вычисления в геометрии (как и в физике, и в любых других нематематических науках) осуществляются только с помощью именованных чисел. Порядок вычислений определяется устройством (структурой) геометрических моделей. Например, если модели искривленного 3-мерного пространства не существует, то и вычисление кривизны невозможно: неизвестно, что к чему прибавлять и что из чего вычитать. Вопреки общепринятому мнению геометрия математической наукой не является, ибо здесь вычисления производятся только с именованными числами, а не с отвлеченными, как в математике. А операции с именованными числами не могут служить признаком математической науки; такие вычисления осуществляются в любых науках - даже в искусствоведении и в психологии.
Экспериментальное подтверждение ОТО и проблема ее истинности. ОТО подтвердили эксперименты - бесспорным образом. Как же могут оказаться ошибочными ее положения относительно искривленности пространства и его геометрической структуры? В этом нет ничего экстраординарного. Экспериментальное подтверждение теории вовсе не говорит об истинности любых ее составляющих. Учение Максвелла об электромагнитных явлениях считается достижением такого же ранга, что и теория Ньютона. Но физическая модель электромагнитных процессов с самого начала не вызывала никакого доверия. Максвелл думал, что электромагнитные воздействия передаются с помощью трубок, наполненных несжимаемой 'жидкостью' и вихрей из механических частиц. Сам он также слабо верил в истинность этих своих представлений. Эти 'трубки' и вихри так и не были обнаружены; над ними тяготело то же самое проклятое требование непроницаемости: ведь несжимаемое должно быть непроницаемым обязательно.
Если некоторые моменты экспериментально подтвержденной теории оказываются опровергнутыми другими экспериментами (построением космического треугольника, например), от них необходимо отказаться.
Странное впечатление производит сравнение результатов ОТО и теории тяготения Ньютона. Перед нами абсолютно различные физические механизмы (физические модели). Ньютон объясняет движение планет взаимодействием сил гравитации и инерции, а Эйнштейн - воздействием Солнца на пространство, а пространства - на планеты. Это так же невероятно, как совпадение описаний движения небесных тел в геоцентрической и гелиоцентрической моделях неба. Между тем, различие результатов вычислений Ньютона и Эйнштейна воистину ничтожно. У Эйнштейна точнее определяется смещение перигелия Меркурия всего на 43 секунды дуги за столетие (это 1 см смещения на небосводе за 10 000 лет).