Зенон Элейский - талантливый ученик Парменида, который для защиты от очевидных нападок на своего учителя погрузился в проблему пространства, времени и движения и обнаружил простые ситуации, которые приводят к некоторым трудноразрешимым парадоксам мышления о них. Самый знаменитый из его парадоксов (или, точнее, апорий, как их называли греки) носит название апории Ахиллеса и Черепахи. Если скорость Ахиллеса в 10 раз больше скорости Черепахи и в начальный момент их разделяет некоторая дистанция L, то за время, которое Ахиллес потратит на преодоление начальной дистанции, Черепаха сместится на 1/10 этого расстояния. Далее, за время которое потратит Ахиллес на преодоление этой 1/10, Черепаха сместится еще на 1/100 и т.д. Поскольку процесс деления на 10 можно продолжать неограниченно, то получаем бесконечное число протяженностей, которые должен преодолеть Ахиллес, прежде чем он догонит Черепаху. Отсюда возникает некоторое ощущение парадокса - из опыта мы точно знаем, что Ахиллес догонит Черепаху, а простой расчет по правилам кинематики, дает выражение для момента встречи t=L/9v, где v - скорость Черепахи. Современные подходы к решению этого парадокса связаны с тремя фундаментальными концепциями, которые прочно укрепились в современной науке и, которые, в некотором смысле родились из размышлений лучших умов человечества над парадоксом Зенона.
Первая из них - концепция непрерывности. Тот факт, что геометрический отрезок делим на любое( в т.ч. бесконечное) число раз и выражается непрерывностью вещественной прямой, с помощью которой мы моделируем реальные протяженности и их длины. В некоторых древнегреческих школах считалось, что у пространства есть атомы, имеющие геометрическую или даже физическую природу. Сегодня этот вопрос до сих пор остается открытым, но если пространство обнаружит атомарную структуру, то парадокс Зенона придется пересматривать.
Вторая удивительная фундаментальная концепция - это числовые или функциональные ряды. В физике ряды, как правило, представляют процедуру вычисления искомой величины, содержащего бесконечное число однотипных итераций, каждая из которых дает вклад меньший вклада предыдущей. Ряд - это формализованный и записанный в виде одного выражения результат последовательности таких однотипных процедур, которые асимптотически приближает нас к ответу (разумеется, если ряд сходящийся). В случае парадокса Зенона рассуждение Зенона представляет собой несколько необычный способ вычисления времени встречи. Это рассуждение и представляет собой числовой ряд: сначала Ахиллес пробегает L, потом, L/10, потом L/100 со скоростью 10v, где v - скорость Черепахи. Для полного времени получаем: L/10v+L/100v+L/1000v...=(L/10v)(1+1/10+1/100+1/1000+...). В скобках получилась бесконечная сумма убывающих по одному закону слагаемых, а точнее сумма членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/10. Эта сумма легко вычисляется (но обоснование требует сведений из теории пределов): 1+1/10+1/100+1/1000+...=1/(1-1/10)=10/9 и в результате получаем: t=(L/10v)(10/9)=L/9v - известный результат.
Обычно мы думаем, что в правильно поставленной задаче результат не может зависеть от способа ее разбиения на более простые подзадачи: после сборки результат должен получаться одним и тем же. Однако в случае с бесконечными рядами нас ждут сюрпризы. Рассмотрим ряд 1-1/2+1/3-1/4+... Этот ряд сходится, и его сумма равна ln(2) (примерно 0.693...). Если мы теперь исправим все знаки минус на плюс в этом ряду, то получится т.н. гармонический ряд: 1+1/2+1/3+1/4..., сумма которого бесконечна. Ряды с таким свойством (сам ряд сходится, а ряд составленный из абсолютных величин расходится), называются условно сходящимся. Имеет место знаменитая и удивительная теорема Римана об условно сходящихся рядах: за счет перестановки слагаемых такого ряда результатом его суммирования может стать любое (!) наперед заданное число. Другими словами, эта теорема обнаруживает, что результат суммирования не зависит от перестановки слагаемых только в конечных суммах, а в бесконечных, (каковыми являются ряды) он зависит от порядка выполнения суммирования. Возьмем теперь ряд ln(2) и переставим в нем слагаемые так, чтобы сумма ряда равнялась единице. Умножим эту единицу на L и раскроем скобки: мы получим незеноновское разбиение исходной дистанции на части, длина которых уменьшается с ростом ее номера (слагаемые со знаком минус нужно интерпретировать как выброшенные части исходного отрезка). Если теперь переставить слагаемые условно сходящегося ряда так, чтобы его сумма равнялась 2L, мы получим другую дистанцию, составленную из тех же частей, которую Ахиллес пробежит с той же скоростью уже за другое время. Незеноновские разбиения дистанции с помощью условно сходящихся рядов открывают новый аспект парадокса Зенона. Зеноновские разбиения при этом соответствуют разбиениям дистанции с помощью неусловно (абсолютно) сходящихся рядов, пример которого был приведен в начале.
Третья фундаментальная концепция, выросшая из парадокса Зенона - это понятие мгновенной скорости, тесно связанное с дифференцированием и производной. В классической механике тела обладают законом движения, который помимо свойства непрерывности обладает более сильным свойством гладкости: в каждой точке траектории можно провести касательную к ней. Физически это соответствует представлению о том, что движение происходит в каждый момент времени, а не является последовательностью состояний покоя. С последним представлением связан другой парадокс Зенона - парадокс летящей стрелы. В квантовой физике у частиц нет траекторий и понятие скорости становится бесполезным, хотя частицы могут обладать импульсом. Таким образом, если рассмотреть квантовую версию парадокса Зенона в котором участвую две свободные частицы А и Ч, обладающие одинаковыми массами, но различными и точно заданными импульсами, то парадокса Зенона не возникнет потому, что точное задание импульсов частиц полностью делокализует их положение в пространстве и мы не сможем задать никакого "начального расстояния" между ними - в таком состоянии его просто не существует. Напротив, задав точно начальное расстояние между частицами, мы потеряем информацию об одном из импульсов (или их комбинации - импульсе центра масс). В этом случае время их встречи становится неопределенным и парадокс снова теряет свою классическую почву. В любом другом промежуточном случае мы так же не сможем реализовать условия классического парадокса Зенона. Тем не менее, термин "квантовый парадокс Зенона" используется для обозначения другого квантового эффекта, в котором атом застывает в возбужденном состоянии, если он подвергается действию возмущения, организованного по схеме парадокса Зенона: частота возмущений атома увеличивается и становится бесконечно большой в некоторый конечный момент времени.
Природа апории Зенона обсуждается до сих пор. Его объяснение посредством зеноновского ряда является лишь частичным, поскольку оно предполагает, что в качестве модели пространства и времени мы используем вещественную прямую с ее однородными свойствами. Если на прямой ввести неевклидову метрику, результат рассуждений может измениться: Ахиллес может не догнать Черепаху ни за какое конечное время t стороннего наблюдателя, даже если скорость Ахиллеса больше скорости Черепахи в любое число раз. Такое возможно, например, в окрестности горизонта классической черной дыры. То есть, общая теория относительности привносит свои нюансы в парадокс Зенона.
Простой анализ обнаруживает, что изначальная природа парадокса Зенона связана не с пространством, а с движением в нем, то есть со временем. В самой предельной форме очевидность этого утверждения можно выразить, если переформулировать этот парадокс так: "Жизнь во времени невозможна. Действительно, чтобы прожить какой-то отрезок времени, нужно сначала прожить его половину, а перед этим нужно прожить половину этой половины и т.д." (Впрочем, если помнить, что в специальной теории относительности покой невозможен - мы вынуждены перемещаться во времени вдоль своих мировых линий, - то переформулировка становится тавтологией). Ясно, что парадокс деления пространственного отрезка на бесконечное число уменьшающихся частей в схеме Зенона связан не столько с его непрерывностью, сколько с самим процессом деления, протекающим последовательно во времени. При одновременном рассмотрении всей бесконечной последовательности половин или 10-х частей отрезка в пространстве парадокса не возникает. Таким образом, парадокс Зенона еще раз обнаруживает замечательное и уникальное свойство времени - быть источником парадоксов...