Щеглов Виталий Николаевич : другие произведения.

Распознавание общего числа заболевших в России в 1992 - 2002 годы по эволюционирующим данным с помощью логических моделей (ред. 2010 г.)

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:
 Ваша оценка:

  

В. Н. Щеглов

  

Распознавание общего числа заболевших в России в 1992 - 2002 годы по эволюционирующим данным с помощью логических моделей

  
  
   При исследовании сложных объектов с помощью интуиционистских моделей математической логики [1, 2] и, в частности, алгебраических моделей конструктивной (интуиционистской) логики (АМКЛ), обращает на себя внимание следующий факт. Интуиционистские модели могут быть истолкованы (в виде приближенного отображения действительности) как возможные состояния знания некоторого познающего субъекта, как модели творческого сознания. С помощью самой структуры или способа построения этих моделей удалось показать достаточно интересные алгоритмические интерпретации основ квантовой теории, теории калибровочных полей и общей теории относительности; квантовой теории калибровочных полей, квантовой теории гравитации, редукции квантованных когерентных состояний ультраструктур нейронов мозга, особых состояний сознания, структуры качественных выводов из астрономической модели Керра; удалось сопоставить структуру Нагорной проповеди и библейских заповедей с этапами построения АМКЛ [12], а также некоторые другие интерпретации (особенно в области медицины, см. эл. б-ки после списка литературы).
   Возможно, любую интересную и сложную область познания можно интерпретировать с помощью этих достаточно гибких по своему построению интуиционистских моделей (далее будем писать иногда просто "моделей"). Формализация этого подхода может по мере накопления опыта и новых данных постепенно уточняться и специализироваться при изучении отдельных областей знания. Можно рассматривать эти модели как некоторый "переводчик" терминов, взятых из специализированных областей знания на язык построения моделей; они являются как бы некоторым формализованным познающим субъектом. Познание здесь осуществляется в виде алгебраических моделей интуиционистской логики (моделей Бета-Крипке). Такие модели при практическом их использовании отображают динамику состояний ("свободно становящиеся последовательности" [2]), или динамику знания некоторого познающего субъекта (алгоритма вычисления АМКЛ). Приведем краткое описание этого алгоритма, детальное описание и множество примеров приведено в [1].
   В исходном массиве действительных чисел или чисел k-значной логики) Х(n+1, m), где n - число переменных (столбцов в Х) и m - число состояний t (строк), записанных в порядке течения времени t, выделяется один или несколько столбцов Y, для которых Y = f(X). В дальнейшем для краткости этот массив будем записывать как (Х, Y, t), где t - время (или порядковый номер строки или в иных случаях номер индивида). Значения Y разбиваются на k частей (обычно на 2 по медиане), и эти значения кодируются, например, в виде булевой функции Z = (0, 1), где 0 - нецелевые состояния и 1 - целевые. Далее каждое состояние (строки в Х), которому задано определенное целевое значение Z, сравнивается со всей своей окрестностью нецелевых состояний, начиная с ближайших и строятся конъюнкции К' малого числа r открытых интервалов dx значений переменных для целевого состояния (в пределе, для весьма больших m dx непрерывно, континуально; r будем называть рангом конъюнкции К'). Итоговые К" (по всем целевым состояниям) вычисляются таким образом, чтобы К" были бы простыми импликациями, истинными формулами для Z, например: "если К", то Z = 1". Примем также (это наше семантическое соглашение), что вычисление К' относится к функции подсознания, а К" - к функции сознания. Далее вычисляются оценки Г для каждой К" (число состояний, где встречается данная К"). Затем строятся тупиковые дизъюнктивные формы (АМКЛ) для каждого из Z = 0, 1, ... в отдельности. Начиная с наибольшей Г отбираются К и объединяются логической связкой "или"; предварительно отбрасываются те из них, множества состояний которых ("покрытия", множества номеров строк) уже входят в объединение покрытий ранее отобранных К (т. е. строится тупиковая дизъюнктивная форма). В некоторых случаях требуется построение вероятностной модели. Для этого все частичные пересечения двух или более К обозначаются как новые К, оставшиеся множества и эти новые К вновь упорядочиваются по их Г, переиндексируются и подсчитываются итоговые Г и Г/m. Эти частоты в сумме дают единицу. Далее все вышеприведенные аналогичные операции совершаются и в отношении нецелевых состояний, целевым значением становится Z = 0.
   После вычисления модели обычно проводится ее интерпретация (обычно с помощью подходящих информационно-поисковых систем) - сопоставление с уже известными более общими теориями, в которые К входят как подмножества (поиск "мажоранты", "наводящих соображений", "пояснений" [13]). Иногда вычисляется также контекст отдельных наиболее интересных итоговых К, входящих в тупиковую форму. Это замкнутые интервалы значений всех переменных, не включенных в данную К, т. е. только для "своих" Г строк-состояний (для "покрытия" К). Интерпретация контекста (вместе с К) соответствует возможному "объяснению" функций Z, также и несущественных переменных. При необходимости аналитического отображения логической модели производится аппроксимация всех подмножеств значений (х, у) для каждого К обобщенными рядами Эрмита или Фурье [1, 2, 14]. Будем считать, что мы потенциально имеем возможность отслеживать и сохранять в памяти компьютера весьма большие, но конечные массивы числовой содержательной информации, которая отображает доступный нам смысл исследуемого процесса.
   Во многих часто встречающихся случаях Y = (у1, у2, ... ) обычно является многокритериальной функцией Х (алгоритм см. в [1]). В более общем случае можно считать, что Х является массивом всей доступной информации, как бы некоторый текст (в динамике, по строкам), посредством которого исследуемый объект обменивается информацией с исследователем. Номера соответствующих переменных ("слов", столбцов массива Х), являются обычно некоторым ограниченным словарем, тезаурусом. При этом, вообще говоря, каждое слово из этого словаря можно задать в качестве функции-цели у относительно оставшейся части Х. Все дело заключается в том, в каком контексте (смысле) проводится исследование. Более того, иногда даже конкретная цель для исследователя не совсем ясна. В этом случае можно вычислить некоторое множество моделей для "обзорного" множества у и отобрать модель, для которой информационная энтропия меньше - практически, можно предпочесть модель, которая содержит меньшее число выводов К с оценками Г = 1. Конечно, далее если возможно, следует с помощью информационно-поисковых средств интерпретировать полученную модель, а иногда и отбросить неинтересные тавтологии, которые неожиданно выявляются при тесной корреляции у с некоторыми сходными (с у) по смыслу переменными. Затем, если это требуется, уже строится модель для многокритериального Y. Еще отметим, что при исследовании объектов в динамике в массив исходных данных можно включать информацию (модели, в том числе и их Y), полученные на предыдущем шаге исследования (модели с "памятью"). Особенно это характерно при исследовании конфликтующих структур (дипломатия, разведка, информационное воздействие на социальные структуры...), при этом обычно Y отображается в виде значений k-значной логики.
   Программа АМКЛ вычисляет тупиковые дизъюнктивные формы в интервальном, и/или булевом и/или вообще в виде значений k-значной логики. Необходимые программы были выполнены В.Ф. Бучелем. Для наглядности представим такую модель М в виде следующего набора конъюнкций:
  
   К*1 V К*2 V ... V - (K1 V K2 V ... ) --> Z = 1,
  
   где К = (а1 < X1 < б1) & ... (аr < Xr < бr), причем К* относятся к целевой модели (т. е. для пораженной местности) и имеют свою (как и К) порядковую нумерацию. Далее, & - логическая связка конъюнкция ("и"), r - число интервалов (а, б), т. е. ранг К, V - логическая связка дизъюнкция ("или"), - константа "ложь", "отрицание"; --> - логическая связка импликация ("если, то", "влечет") и Z - цель исследования обычно в булевом виде. В данной работе переменные Xi (i = 1, 2, ... ) будут булевыми.
   После вычисления К рассчитываются их оценки Г - число (повторяемость) каждой К в выборке и множества строк массива данных (номера больных), соответствующих Г; затем упорядочиваются все К по их Г. Начиная с К с наибольшей Г строится объединение множеств, соответствующих этим упорядоченным К. Отбрасываются те из них, множества (соответствующие Г) которых входят в объединенное множество всех ранее отобранных более "мощных" К. В итоге строится тупиковая дизъюнктивная форма. Ошибка М рассчитывается следующим простым способом. Известно, что идеальному генератору случая соответствует АМКЛ, где все Г = 1. Если после вычисления М удалить из исходного массива какую-либо одну строку - ее Z все равно будет распознана с помощью К, для которых Г = 2 или больше; однако возможна ошибка, если у некоторой К Г = 1 (полагаем, что структура М мало меняется при удалении одной строки для достаточно большой выборки). Будем называть максимальной ошибкой p для М суммарное число К, для которых Г = 1, отнесенное к общему числу
   Программа построения АМКЛ предназначена для исследования сложных систем в динамике. Предполагается, что эти системы зависят также и от "скрытых" (незарегистрированных) переменных, медленно эволюционирующих во времени. Для того, чтобы сделать К мало зависящими от этих переменных, сам алгоритм построен на сопоставлении каждой целевой строки со своей окрестностью не целевых строк при вычислении каждой целевой модели; аналогично вычисляются и модели "контроля" (не целевые).
   Следует иметь в виду, что основная цель вычисления логических моделей заключается в поиске их семантики, которая с точки зрения исследователя каким-то образом согласовывалась бы с уже известными данными или была бы интересна с какой-либо иной точки зрения. Такое согласование могло бы быть достигнуто после специального обзора литературных или иных данных, например, после использования информационной поисковой системы. Другими словами, цель логического моделирования заключается в наилучшем согласовании информационных каналов субъекта (исследователя) и объекта. Логические модели на используемых массивах всегда истинны в случае отделимости исследуемых пространств.
   Рассмотрим массив данных, взятый из [15]. Некоторые числа здесь записаны в две строки из-за табличных ограничений на количество знаков в числе (их должно быть не более 6). В этих случаях необходимо для требуемой переменной число из первой строки приписать слева к нижнему числу в этом же столбце. В качестве целевой строки возьмем 1-ю, где приведено количество всех заболевших в России по соответствующим годам. Порядковые числа слева в этой таблице (кроме 1-го) обозначают названия классов болезней. В Табл.1. строки 2-16 представляют заболеваемости на 100 000 населения.

Табл. 1.

  
   Классы болезней по МКБ-IX

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

   1.'Всего'

104624

109423

   110947

115162

114126

117870

119886

127090

132372

133828

138227

   2.'Инфекционные и паразитарные болезни'

5058

5340

5955

6272

6036

5967

6190

6230

6217

6187

5929

   3.'Новообразования'

2276

2356

2452

2528

2677

2644

2798

2951

3083

3163

3273

   4.'Болезни эндокринной системы'

2323

2427

2591

2690

2880

3071

3344

3596

3840

4077

4407

   5.'Психические расстройства'

426

482

538

590

637

679

728

813

885

934

1094

   6.'Болезни нервной системы и органов чувств'

4715

4679

4635

4720

4695

4634

4771

5062

5163

5262

5306

   7.'Болезни системы кровообращения'

11666

12442

13057

13532

14200

14446

15064

4647

4514

4608

4724

   8.'Болезни органов дыхания'

9416

9661

10248

10645

11115

11433

11974

13199

13900

14697

15615

   9.'Болезни органов пищеварения'

33322

35546

32819

34152

31360

34544

33061

35309

37028

35157

35374

   10.'Болезни мочеполовой системы'

9500

9446

9769

10189

9942

9755

10216

11630

10946

10959

11381

   11.'Осложнения беременности'

4819

5092

5523

5924

6367

6588

7061

7550

7947

8281

8650

   12.'Болезни кожи и подкожной клетчатки'

4052

4080

4358

4441

4734

4750

5035

6340

6419

6814

7302

   13.'Болезни костно-мышечной системы'

6231

6366

6707

6999

7459

7683

8120

8277

8812

9264

10083

   14.'Врожденные аномалии(пороки развития)'

337

349

368

387

424

451

480

509

525

540

588

   15.' Неточно обозначенные состояния'

252

277

304

322

343

358

378

579

634

858

1090

   16.'Травмы и отравления

8409

8701

8907

8927

8668

8540

8603

8571

8813

8963

9095

  
   Приведем Табл. 1 к стандартному виду, который используется в методе построения алгебраических моделей конструктивной логики (АМКЛ, [2]): строки последующих таблиц будут представлять заболеваемости населения по годам (последние, т. е. новые годы, - внизу), а столбцы - переменные. Вычислять логическую модель по данным Табл.1 бесполезно: почти все переменные возрастают (эволюционируют во времени) как правило монотонно и логические модели для булевой цели Х1 ("всего заболевших в России") здесь представляют набор некоторых интервалов почти всех переменных, перечисленных через логическую связку V; наблюдается как бы большая энтропия модели. В этих условиях представляет интерес исследование влияния скоростей изменения по годам всех переменных Xi. Известно, что использование действительных значений переменных ведет обычно к большому ограничению взаимодействий Xi в конъюнкциях К, т. е. уменьшается их ранг r, нас же интересует с практической точки зрения взаимодействие (выраженного через логическую связку &) некоторого числа "существенных" переменных в К, которое обычно наблюдается в действительности.
   Вычислим массив разностей для Табл. 1: по существующей стандартной программе здесь, в частности, из каждого числа предшествовавшего года вычитаются значения для следующего года (почти везде из малого числа вычитается большое и получаются отрицательные числа). Затем вычисляются медианы для скоростей: Х1= - 116000, Х2= (?), Х3= -100, Х4= -190, Х5= - 50, Х6= -80, Х7= -400, Х8= -700, Х9= 0, Х10= -100, Х11= -400, Х12= -200, Х13= -400, Х14= -20, Х15= -27, Х16= -130. Числа меньше или равные медиане на числовой оси, кодировались как 0, числа больше медианы как 1.
   Для лучшей наглядности записи моделей обратим все полученные после сравнения с отрицательными медианами булевы значения на обратные и запишем этот "обращенный" массив в виде Табл. 2. Этот массив был бы вычислен, если из каждой нижней строки начального численного преобразованного массива (каждая строка его соответствует определенному году) вычиталась бы верхняя, и получались положительные числа, которые дальше сравнивались бы со своими медианами. В итоге получаем следующую булеву Табл. 2 скоростей изменения переменных ("увеличения или уменьшения заболеваемостей"). Число строк, соответствующих годам, уменьшается здесь на единицу.
  

Табл. 2.

  
   Х: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
  
   0;1;0;0;1;0;1;0;1;0;0;0;0;0;0;1;
   0;1;0;0;1;0;1;1;0;1;1;1;0;0;1;1;
   0;1;0;0;1;1;1;0;1;1;1;0;0;0;0;0;
   0;0;1;1;0;0;1;0;0;0;1;1;1;1;0;0;
   0;0;0;1;0;0;0;0;1;0;0;0;0;1;0;0;
   1;1;1;0;0;1;1;1;0;1;1;1;1;1;0;0;
   1;1;1;1;1;1;0;1;1;1;1;1;0;1;1;0;
   1;0;1;1;1;1;0;1;1;0;1;0;1;0;1;1;
   1;0;0;1;0;1;0;1;0;0;0;1;1;0;1;1;
   1;0;1;1;1;0;0;1;1;1;0;1;1;1;1;1.
  
  
   Булевы модели для Табл. 2 запишутся в следующем виде:
  
   5(Х8=1) --> Х1=1.
   4(Х8=0) V 3(Х6=0 & Х3=0) --> Х1=0.
  
   Пусть числа перед скобками в этих моделях означают оценки Г соответствующих конъюнкций К (сколько раз данная ситуация встречалась в Табл. 2). Далее приведем содержательную интерпретацию этих моделей (названия переменных см. в таблице 1).
   Увеличение в последние годы заболеваемости органов дыхания ведет к увеличению общего числа заболевших за год свыше 116000 человек. Уменьшение (в прежние годы) заболеваемости органов дыхания или совместное уменьшение заболеваемости нервной системы и числа новообразований соответствовало уменьшению числа заболевших, которое было меньше 116000 человек за год.
   Увеличение заболеваемости органов дыхания в последние годы возможно связано с увеличением загрязнения атмосферы промышленными и транспортными токсичными выбросами, а также загрязнение атмосферы в результате больших лесных пожаров, горения торфяников и свалок. Возможно, здесь также сказывается увеличение числа курящих. По сравнению с последними годами в прежние годы (все в терминах этой статьи) совместное уменьшение заболеваемости нервной системы и числа новообразований, возможно, было связано с относительно меньшим потреблением алкоголя и меньшим числом курящих, чем в последние годы. Обычно алкоголизм и курение способствуют появлению язв желудка и далее - рака желудка или пищевода.
   Записанные выше модели истинны для Табл. 2, ранее введенное понятие максимальной ошибки p распознавания неизвестного значения цели Z здесь неприменимо: в этих моделях нет К с Г = 1. Автор [15] вообще не дает ошибки распознавания своих данных по Табл. 1 и лишь предлагает довольно сложно реализуемый алгоритм распознавания.
   Вычисляя аналогичным образом разности второго порядка, можно получить модели, где переменные будут отображать в получаемых моделях влияние на целевую функцию уже не скорости их изменения, а влияние ускорений (изменения этих скоростей) на целевую функцию, что позволяет судить о тенденции изменения во времени скоростей переменных. Как и ранее, вычисляя медианы для всех ускорений Х, запишем модель для ускорений в булевой форме. Медианы для ускорений: Х1= -1728, Х2= -16, Х3= -1, Х4= -1, Х5= -5, Х6= -55, Х7= -140, Х8= 74, Х9= -529, Х10= 377, Х11= -63, Х12= 93, Х13= -49, Х14= 0, Х15= 3, Х16= -19, Х17= -95. В булевой форме массив для ускорений будет иметь следующий вид:
  
  

Табл. 3.

  
   Х: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
  
  
0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0;
   0; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0;
   0; 0; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0;
   0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1;
   1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1;
   1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 0; 0; 1; 0;
   1; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1;
   1; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 1; 0;
   1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 1; 1; 1;1.
  
   Модели, отображающие Табл.3 имеют следующий вид:
  
   4(Х7=1 V Х10=1) -->Х1=1
   4(Х7=0 & Х15=0) -->Х1=0
  
   Далее приведем содержательную интерпретацию этих моделей (названия переменных см. в таблице 1).
   Увеличение ускорения ("тенденции") к заболеванию системы кровообращения (Х7) влечет увеличение общего числа заболевших за год свыше 116000 человек. Другая ситуация: увеличение тенденции к заболеванию мочеполовой системы также влечет увеличение общего числа заболевших за год свыше 116000 человек. Совместное (в прежние годы) уменьшение тенденции к заболеванию системы кровообращения и тенденции к уменьшению количества неточно обозначенных состояний (Х15). Все это влечет уменьшение общего числа заболевших за год, которых было меньше чем 116000 человек.
   В последние годы, возможно, увеличился темп жизни и психологическая нагрузка населения, что обычно ведет к увеличению тенденции к заболеваниям системы кровообращения. Также в последние годы, вероятно под влиянием ТВ - косвенно пропагандируемой "свободы" ("всё дозволено!") - увеличилось число женщин, занимающихся проституцией, увеличилось также число случайных связей. Все это, естественно, ведет к увеличению тенденции к заболеваниям мочеполовой системы. В прежние годы совместное уменьшение тенденции к заболеванию системы кровообращения и тенденции к уменьшению количества неточно обозначенных состояний (что приводило к уменьшению общего числа заболевших за прошлые годы) можно интерпретировать следующим образом. Поскольку этот вывод получен по сравнению с новыми годами, возможно именно в эти новые годы в рядовых диспансерах и клиниках диагностика таких ведущих болезней как заболевания системы кровообращения стала менее точной по самым разнообразным, в том числе и по социальным причинам.
   Для распознавания общего числа заболевших в России в 1992 - 2002 годы по Табл. 3 последовательно вычеркивали по одной строке, по оставшимся строкам вычисляли каждый раз новую модель. Далее так же каждый раз распознавали в очередной вычеркнутой строке булево значение целевого Х1. Итоговая ошибка распознания в данном случае была р = 0,11. В дальнейшем нужны данные по заболеваемости и общему числу больных за каждый месяц и за большее число лет, тогда следует ожидать вычисления более детальных и более точных моделей для улучшения распознавания новых медико-демографических состояний.
  
  

Литература

  
   1. Щеглов В. Н. Творческое сознание: интуиционизм, алгоритмы и модели. - Тула: "Гриф и К", 2004. - 201 с. (см. также http://publ.lib.ru).
   2. Щеглов В.Н. Творческое сознание: интерпретация алгоритма построения алгебраических моделей конструктивной (интуиционистской) логики, 2007. - 12 с. (см. http://publ.lib.ru).
   3. Щеглов В.Н., Хромушин В.А. Интеллектуальная система на базе алгоритма построения алгебраических моделей конструктивной (интуитивистской) логики// Вестник новых медицинских технологий. - 1999. - Т. VI, N2. - С. 131 - 132.
   4. Щеглов В.Н. и др. Логические модели заболеваний за 1986 - 1999 годы участников ликвидации аварии на ЧАЭС и/или мужчин, проживающих в пораженной зоне и имеющих злокачественные новообразования органов дыхания// Медицинский радиологический научный центр РАМН// Радиация и риск. - 2002. - Вып. 13. - С. 56 - 59 (см. также в Интернете новую редакцию и исправления, 2010 г.)
   5. Щеглов В. Н., Яшин М. А. Моделирование энергоинформационных взаимодействий в биообъекте на основе исследования гиперсинхронизации электрической активности головного мозга человека// Физика волновых процессов и радиотехнические системы (изд. "Самарский университет"). - 1999. - Т. 2, N 1 - С. 58 - 63.
   6. Щеглов В.Н. Системный анализ и моделирование в медицине с помощью метода алгебраических моделей конструктивной (интуиционистской) логики// В книге: Афромеев В.И. и др. Математические методы современной биомедицины и экологии. - Тула: НИИ НМТ, 1997. - С.149 - 157.
   7. Щеглов В.Н. Вычислительные и имитационные возможности программы построения алгебраических моделей конструктивной (интуиционистской) логики (АМКЛ) в ЭЭГ-исследованиях // Тезисы докладов 22 - 25 сентября 1997 г. "Фундаментальные науки и альтернативная медицина". - Пущино: РАН, 1997г. - С. 110 - 111.
   8. Щеглов В. Н. Интеллектуальный анализ численных данных на основе алгебраической модели интуиционистской логики// Научно-техническая информация сер. 2 - 2002. - N4 - С. 1, 2, 30.
   9. Хромушин В. А., Щеглов В. Н., Бучель В. Ф. Информационно-аналитическая база государственного медико-дозиметрического регистра по Тульской области// Экологические проблемы Тульского региона. Научно-практическая конференция. - Тула: Администрация Тульской области, 2002. - С. 126 - 130.
   10. Честнова Т. В., Щеглов В. Н., Хромушин В. А. Контекстно-развивающаяся база данных для логической интеллектуальной системы, используемой в здравоохранении //Эпидемиология и инфекционные болезни. - 2001. - N4. - С. 38 - 40.
   11. Щеглов В.Н. Логические модели смерти от злокачественных новообразований, сопутствующих заболеваний и демографического статуса населения тульской области, проживавшего в местности, пораженной в результате аварии на Чернобыльской АЭС, 2010. - 6 с. (см. Интернет).
   12. Щеглов В.Н. Нагорная проповедь: сопоставление с алгоритмом построения алгебраических моделей интуиционистской логики, 2008. - 9 с. (см Интернет).
   13. Шанин Н.А. Об иерархии способов понимания суждений в конструктивной математике// Труды математического института имени В. А. Стеклова, CXXIX // Проблемы конструктивного направления в математике, 6. - Л.: "Наука", 1973. - С. 203 - 266.
   14. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. - М.: Мир, 1976. - 312 с.
   15. Куренков Н. И. Особенности анализа многомерных данных// - ЗАО "Научно-исследовательский центр распознавания образов, 2001. - 14 с. http://www.prr.ru/Papers/analyze.doc
  
  
   См. публикации автора в Интернете: http://lib.ru ("Самиздат", "Щ"), http://publ.lib.ru (здесь также публикации с формулами), http://shcheglov.livejournal.com/ (LJ, адреса новых текстов). Мой фотоальбом1: http://4put.ru/pics/u_135/ . Мой фотоальбом2 и 3: http://shcheglov.gallery.ru (также транслируются в LJ). Эл. почта: [email protected], тел. 8 905 119 70 97 .
  

Новая редакция и исправления статьи июнь 2010 г.

4.06.10

  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

7

  
  
  
  
 Ваша оценка:
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"