Млекоченко Николай Федорович : другие произведения.

Несмотрнте

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:
Школа кожевенного мастерства: сумки, ремни своими руками
 Ваша оценка:


   Оптические свойства периодической среды описываются тензорами диэлектрической проницаемости и восприимчивости, которые вследствие трансляционной симметрии среды являются периодиче­скими функциями координаты х:
   е(х) = е(х + а), м(х) = ц(х + а),где а -- любой произвольный вектор решетки. Эти формулы отра­жают лишь то, что наблюдатель, расположенный в точке х, "ви­дит" среду такой же, как и наблюдатель в точке х + а. В случае трехмерной периодической среды, такой, как кристалл, периодич­ность решетки определяется элементарными векторами а,, а2 и а3. Среда остается инвариантной относительно перемещения на любой вектор а, представляющего собой сумму целого числа этих векто­ров.
   Распространение монохроматического (с частотой а>) лазерного излучения в периодической среде описывается уравнениями Макс­велла
  -- X Н = шеЕ, (6.1.2)
  -- X Е = - ш/хН . (6.1.3)
   Эти уравнения должны оставаться неизменными, если в оператор
  -- и е, ц вместо х подставить х + а. Трансляционная симметрия среды позволяет выбрать нормальные моды в виде
   Е = Ек(х)е-'к-,
      --
   Н = Нк(х)е *,
   где Ек(х) и Нк(х) -- периодические функции, т. е.
   Ек(х) = Ек(х + а),
      --
   Нк(х) = Нк(х + а).
   Это свойство известно как теорема Флоке (или Блоха) и будет до­казано ниже. Нижний индекс К указывает на то, что функции Ек и Нк зависят от вектора К, который называется блоховским волно­вым вектором. Величины со и К связаны дисперсионным уравнени­ем
   " = "(К). (6.1.6)
   В случае когда периодичность исчезает, функции Ек(х) и Нк(х) ста­новятся не зависящими от х, а нормальные моды -- плоскими вол­нами с волновым вектором, равным блоховскому. Наша основная цель состоит в определении Ек(х), Нк(х) и нахождении дисперсион­ной зависимости со (К).
   6.1.1. ОДНОМЕРНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СРЕДЫ
   В современной оптике часто приходится иметь дело с одномерной периодической средой, тензор диэлектрической проницаемости ко­торой г. удовлетворяет условию
   е{г) = е{г + /Л), (6.1.7)
   где Л -- период, а / -- некоторое целое число. В данной главе мы ограничимся рассмотрением распространения лазерного излучения в одномерной периодической немагнитной среде. На рис. 6.1 пока­зана типичная периодическая среда, представляющая собой череду­ющиеся слои двух прозрачных материалов. Предположим, что на

0x01 graphic

РИС. 6.1. Типичная периодическая слоистая среда, состоящая из чередующихся сло­ев ваА^ и А1 ва, А.5, выращенных на подложке из ваАз методом эпитаксии из молекулярных пучков [7].

  
   эту периодическую слоистую среду падает пучок лазерного излуче­ния. Свет будет претерпевать отражение и преломление на каждой границе раздела. Пусть в -- угол падения. Интерференционные максимумы при отражении возникают при условии
   2Ксо&в = т\ , (6.1.8)
   которое называется условием Брэгга. Его легко вывести, сравнивая разность фаз между лучами, отраженными от последовательных плоскостей решетки. Конструктивная интерференция возникает, когда оптическая разность фаз между лучами, отраженными от по­следовательных плоскостей решетки, составляет целое число длин волн. Распространение электромагнитного излучения в таких сре­дах подчиняется волновому уравнению
   V X (V X Е) - <о2/хеё = 0- (6.1.9)
   Поскольку среда является периодической, диэлектрический тензор ё можно разложить в ряд Фурье:
   "(*) = ёес"~'С"х, (6.1.10)
   в
   где в пробегает все векторы обратной решетки, включая С = 0. В нашем одномерном случае
   С = /8 = /Т2' /= Ђ1,+2, Ђ3,..., (6.1.11)
   е(2) = Т,е,е-"(2,г/А)2.
   I
   В физике твердого тела вектор в называется вектором обратной решетки. В физике кристаллов этот вектор играет фундаменталь­ную роль. В одномерной периодической среде вектор § параллелен оси г. Вектор электрического поля в этой периодической среде в об­щем случае можно выразить через интеграл Фурье:
   Е = 1<13кА(к)е-'к-*. (6.1.12)
   Подставляя выражения (6.1.12) и (6.1.10) в (6.1.9), получаем х [к х А(к)]+ <о2/хёА(к - = 0.
   Это условие выполняется только тогда, когда все множители при е-/к-х обращаются в нуль. Таким образом,
   k X [к X А(к)] + <o2/x?eGA(k - G) = 0 для любого к, (6.1.13)
   G
   где суммирование производится по всем векторам обратной решет­ки. Это условие представляет собой бесконечную однородную си­стему уравнений относительно неизвестных коэффициентов А(к). Каждое уравнение в этой системе имеет свое, отличное от другого значение к. В принципе для этой системы можно решить характе­ристическое уравнение, получаемое приравниванием детерминанта системы уравнений (6.1.13) нулю. Однако при более внимательном рассмотрении системы (6.1.13) можно заметить, что не все коэффи­циенты А(к) связаны между собой. Оказывается, что связаны только коэффициенты вида A(k - G). Это позволяет разбить пол­ную систему уравнений (6.1.13) на много подсистем, каждая из ко­торых относится к волновому вектору К и содержит уравнения от­носительно А(К) и А(К -- G) со всевозможными векторами G. Каждая такая подсистема может быть решена по отдельности. Ис­пользуя это свойство для системы (6.1.13), решение подсистемы, характеризуемой вектором К, можно записать в виде
   Ек = 1>(К - GK'<k-g>- = G
   = <>-'к-'ХА(К - G)e'G-' = (6.1.14)
   G
   = е~'к'гЕк(г).
   В одномерном случае G = /g - 12-wi/A.. Поэтому
   Ек(г) = ёА(К - /gy^/A); (6.1.15)
   I
   является периодической функцией с периодом Л. Выражение (6.1.14) определяет нормальную моду распространения. Более общее реше­ние (6.1.12) теперь представляет собой линейную суперпозицию этих нормальных мод. Тем самым мы доказали теорему (6.1.5).
   При условии что частота w задана, из уравнений (6.1.13) можно получить волновой вектор К. Если среда однородна в х- и ^-направ­лениях, т. е. ё не зависит от х и у, то из (6.1.14) и (6.1.15) находим следующее выражение для блоховской моды электрического поля:
   Е - е-цкхх+куУ)е-и<ггЕк(г), (6.1.16)
   где Ек(г) -- периодическая функция от г. В этом случае, задавая ча­стоту оз и набор величин (Кх, Ку), из уравнений (6.1.13) можно опре­делить Kz. Существуют области значений оз, для которых К. стано­вится комплексным числом, и, следовательно, блоховская волна (6.1.16) оказывается затухающей. Падающее излучение от этих об­ластей будет полностью отражаться. В диапазоне рентгеновского излучения это явление называется брэгговским отражением. По­скольку наибольший интерес представляют явления и устройства, использующие периодические среды в области их запрещенных зон, мы будем искать приближенные решения для блоховских волн, ког­да условие Брэгга приблизительно выполняется. Чтобы проил­люстрировать основные идеи, для простоты в дальнейшем будем предполагать, что волна распространяется в направлении г (т. е. Кх = Ку - 0) и что вектор поля перпендикулярен волновому векто­ру (К-Е = 0). Кроме того, будем предполагать среду изотропной, т. е. считать, что ё/ является скалярной величиной. При этом систе­ма уравнений (6.1.13) принимает вид
   к2А(к) - и2ц^1е,А(к - = 0. (6.1.17)
   /
   Для нахождения блоховской волны с волновым числом К (здесь для простоты опущен нижний индекс г) требуется решить систему уравнений (6.1.17) с к = К, К Ђ g, К Ђ 2$, ... . Поскольку мы сно­ва имеем бесконечное число уравнений относительно А (К), А (К Ђ Ђ g), А (К Ђ 2$), ... , для получения явного решения требуется сде­лать еще одно приближение. Чтобы это приближение было кор­ректным, нужно исследовать все входящие в уравнения члены и пренебречь малыми величинами. Записывая в (6.1.17) несколько первых членов для к - К, получаем уравнение
   К2А(К) - и2це0А{К) - <л2це{А(К - 8) - и^^К + я) =-0,
   (6.1.18)
   которое можно также переписать в виде
   А(К) = 1 2 - 8) + ^е_хА(К+ ")+""•].
   К - и це0
   Аналогично, уравнение (6.1.17) для k = K- guk = K + g можно записать соответственно в виде
   A(K-g) = ~[и2це1А(К - 2g) + и2^_хА{К) +•••],
   (К- g) - "v0
   (6.1.20)
   А(К + g) = J + u2fie_iA(K+ 2g)+...].
   (K+g) - "Vо
   (6.1.21)
   Из уравнений (6.1.19) -- (6.1.21) следует, что если \K-g\tsK, (6.1.22)
   К2 = (6.1.23)
   то основными членами являются А (К) и А{К -- g). Физически это означает, что между составляющими плоских волн А (К) и А (К --
  -- g) имеется резонансная связь. Пренебрегая всеми другими коэф­фициентами, систему уравнений (6.1.17) для блоховских волн с вол­новым числом К можно переписать в виде
   (а:2 - ы2це0)А(К) - ы2ЦЕ\А{К - g) = 0, (6.1.24)
  -- + [(* - gf - ы2це0]А(К -g) = 0. (6.1.25)
   Заметим, что е0 здесь представляет нулевую фурье-компоненту ди­электрического тензора, а = е*, если е-- вещественная диэ­лектрическая функция.
   Уравнения (6.1.24) и (6.1.25) представляют собой систему линей­ных уравнений для амплитуд поля А (К) и А (К -- g). Она имеет не­тривиальное решение только в случае, когда детерминант системы равен нулю:
  
  
   (6.1.26)
   = о,
   К2 - и2це0 -и>гце{
   -w2/xe_, (К- g)2 - и2це0
   или
  
  
   (6.1.27)
   (К2 - ^e0)[(K-g)2 - "V0] - (<oV|e,|)2 = о.
   Последнее уравнение представляет собой явную запись дисперсион­ного уравнения (6.1.6), определяющего зависимость ы(К). Условие
   Брэгга (6.1.22) точно выполняется при К = (1/2)# = 7г/Л. При этом значении К из уравнения (6.1.27) получаем следующие два корня со2:
   Эти корни определяют границы спектральной полосы. При часто­тах со между со+ и со_ корни уравнения (6.1.27) для К являются ком­плексными числами, вещественная часть которых равна -к/К. Вол­ны при этом являются затухающими, а их спектральный диапазон называется "запрещенной зоной".

0x01 graphic

0x01 graphic

   При частотах со, лежащих вне этой запрещенной зоны, корни уравнения (6.1.27) для К являются вещественными и решения отве­чают распространяющимся волнам. Уравнение (6.1.27), устанавли­вающее связь между со и А', называется дисперсионным. На рис. 6.2 представлено графическое изображение дисперсионного уравнения (6.1.27) для типичной периодической среды. Для трехмерной перио­дической среды дисперсионное уравнение (6.1.6) соответствует по­верхностям постоянной частоты в К-пространстве. В случае трех­мерных периодических сред могут также существовать запрещен­ные зоны частот со. Волны с частотами в запрещенных зонах не могут распространяться, поскольку вследствие брэгговского отра­жения они затухают. Это нетрудно показать, если вычислить вол­новое число К в центре запрещенной зоны при со2 = (#/2[см. (6.1.22) и (6.1.23)] и К = + х, где 1x1 #/2. При этом диспер­сионное уравнение (6.1.27) принимает вид
   (6.1.29)
   где мы пренебрегли числом, пропорциональным X4. Из уравнения (6.1.29) можно найти волновое число К в центре запрещенной зоны:
   (6.1.30)
   Поскольку это волновое число является комплексным, оно отвечает экспоненциально затухающей амплитуде. Следует отметить, что это пространственное затухание существенно зависит от коэффици­ента ё, в фурье-разложении. Ширина запрещенной зоны определяет­ся величиной Дсовар = 1со+ -- со_ I и в соответствии с (6.1.28) дается выражением

0x01 graphic

  

0x01 graphic

  
   а
   12-631
   О!

0x01 graphic

РИС. 6.2. а -- дисперсионная кривая в области запрещенной зоны для периодичес­кой структуры, изображенной на рис. 6.3 при л1 = 3,2, п2 = 3,4, а = Ь = 0,5Л; за­метим, что К становится комплексным, когда Яе(А'Л) = 7г; б "-- общий вид диспер­сионных кривых ш(К) для основной запрещенной зоны (/ = 1) и запрещенных зон высшего порядка (/ = 2, 3).

  
   Таким образом, ширина запрещенной зоны Ди пропорциональна коэффициенту Фурье для диэлектрической Проницаемости. Из вы­ражений (6.1.30) и (6.1.31) можно заметить, что мнимая часть вол­нового числа в центре запрещенной зоны пропорциональна отно­сительной ширине этой зоны (Ли /со) и дается выражением
   К^и--^, (6.1.32)
   0)
   где, как мы помним, g = 2тг/Л.
   Выше при получении формул мы предполагали, что распростра­нение волн происходит в направлении периодического изменения диэлектрической проницаемости", т. е. вдоль оси г. Для произволь­ного направления распространения (т. е. когда Кх или Ку ^ 0) дис­персионное уравнение оказывается более сложным и зависит от со­стояния поляризации. Это будет показано в следующем разделе при исследовании распространения волн в периодических слоистых средах.
   При выводе дисперсионного уравнения (6.1.27) мы предполагали IК -- g I = К [соотношение (6.1.22)] и К2 ~ а>2це0 [соотношение (6.1.23)], что следует из условия резонансной связи между коэффи­циентами А (К) и А (К - g). Запрещенная зона, связанная с брэггов- ским условием (6.1.22), определяется коэффициентом фурье-разло- жения ё; диэлектрической функции Е(г). В общем случае существует запрещенная зона, связанная с каждым коэффициентом Фурье е, ди­электрической функции ё(г). Для иллюстрации этого рассмотрим случай, когда
   \K-lg\~K, /=Ђ1,Ђ2,..., (6.1.33)
   К2 = и2це0. (6.1.34)
   Аналогично тому как были выведены уравнения (6.1.24) и (6.1.25), можно получить
   (К2 - ш20)А(К) - и211е,А(К - = 0, (6.1.35)
   -и2^_,Л(К) + [(К - 1е)2 ~ ^е0]А(К - ^ 0. (6.1.36)
   Это приводит к запрещенной зоне при
   г*
   Л
   Поскольку здесь предполагается, что = с* ширина зоны дается выражением
   (Ч*),-^- (6Л-38)
   Если / 1, то эти зоны называются запрещенными зонами высше­го порядка, поскольку в соответствии с (6.1.37) и (6.1.34) они име­ют место при более высоких частотах. Во многих случаях коэффи­циент фурье-разложения е, с ростом I уменьшается (т. е. е, -- 0 при / -- оо). Как видно из (6.1.38), соответствующие запрещенные зоны имеют небольшую ширину. На рис. 6.2, б представлены дисперси­онные кривые о) (К) для общего случая.
  
   2 Глава 5
  
   Распространение элск i рома§ шпных во.нi в периолнческич средах 4
  
   6
   Глава 6
  
  
   7
   Глава 6
  
  

(6.4.16)

  
  

(6.4.16)

  
  
   Распространение электромагнитных волн в периодических средах 5
  
   10
   Глава 6
  
  
  
  

(6.4.16)

  
  
  
  
   Распространение электромагнитных волн в периодических средах 8
  
  
  

 Ваша оценка:

Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"