Земляк : другие произведения.

А вымираем ли? Рейд дилетанта в туман демографии

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:
 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Попытка немного разобраться, записанная в форме литературно-математической композиции.

А вымираем ли? Рейд дилетанта в туман демографии

  Умников сейчас развелось до чёрта. А паникёров - так их и раньше хватало. И потому - минимум раз в неделю в какой-нибудь из газет непременно читаем, уже просто как дежурное - вымирает Россия по 800 тыс в год! А радио послушаешь, "Народное", там, или еще какое, так там возражают - нет, не по 800! По миллиону вымирает!! А уж про то, что в Сети.... В общем - даёшь!!! План и сверЬхплан. Догнать и перегнать!!! Особо продвинутые же наши телеораторы, скоропостижно обременившиеся степенями околовсяческих наук, так те простой декларацией цифирей не ограничиваются. Они выводы делаютЬ! Прогнозы! Через сколько годочков откинет коньки Россия из-за своих теперешних демографических проблем?

  А что же там, в Сети, есть от серьезных людей? Поиск на "демография - математическая модель" даёт не малую тучу страниц, но пока там больше "птичье щебетанье", так сказать. От аннотаций монографий до расписаний зачётов по соответствующим курсам. Словом, видно - работают люди над сей проблемой. Но ни описанию моделей, ни, тем более, уравнениям места в Сети пока не нашлось.

  Так. Ну, а я чем же хуже? Со своей-то многогранной натурой? Так же, как и эти, первые, в демографии ни бум-бум. Степенишка, хоть и кандидатская, тоже имеется. Ста-аренькая такая, аж в 80-м году полученная, когда еще работающий фильтр был против слишком ушлых - ВАК СССР назывался. Да и физ.-мат. наук все же, так что худо-бедно, но в математике ориентируюсь. Матмоделями физических процессов разных и далеко не всегда простых, всю жизнь по работе занимался. Так уж вышло. Вот и желаю я сам, лысой своей головёнкой прикинуть, так ли все плохо или не так уж и плохо, а если уж плохо, то как именно и чего ждать-то? Когда он, трандец-то? А то вдруг не доживу?

  Так что возьмём ручку, чистые листочки, придвинем клаву и начнём, благословясь.

Простейшая модель динамики популяции

  Как строятся модели? Примерно по такой вот схеме. Сначала выбираются объекты, существенные для целей анализа и тут же им присваиваются имена. Затем формулируются словами и, по возможности, записываются математически существующие между этими объектами взаимодействия и связи. Само же моделирование сводится к тому, что им (математическим описаниям взаимодействий) дают поработать. Ну, а потом анализируют результат. Вот в таком духе, в таком плане, в таком разрезе.

   Пусть y(t) - численность популяции (людей, муравьёв, соловьёв, шестижопых кусак и т.п.) в некоторый момент времени t. Разумеется, в каждый разумно малый отрезок времени dt сколько-то особей в популяции умерло и сколько-то родилось. Естественно, что чем больше объем популяции y, то тем больше в ней и родившихся dyr=r*y*dt и умерших dyu= -u*y*dt (знак "-" показывает убывание). Здесь коэффициентом r обозначена рождаемость (к примеру, на 1000 человек за год), а u - соответственно, смертность. Суммируя, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение (умоляю, не надо пугаться) для описания изменения популяции

dy/dt =(r-u)*y

с начальным условием в какой-то момент времени, принимаемый за нулевой y(0)=Y.

Его решение, особенно в период сессии, было известно любому второкурснику советских времён, и, надо отметить, с той поры абсолютно не изменилось. Оно по-прежнему имеет вид:

y(t)=Y*exp( (r-u)*t)

Если внимательно вглядеться в эту формулу, а также вспомнить, как ведет себя функция, называемая экспонентой, то что мы в этом решении видим? А вон, рисунок 1.

[]

  Видим совершенно и без всяких моделей предсказуемые вещи. Если рождаемость больше смертности, популяция неограниченно растет, если меньше, то столь же неограниченно уменьшается, не достигая, однако, полного нуля. (Впрочем, там уже и о справедливости модели говорить не приходится.)

  Эту модель даже некоторые журналисты понимают. Но зато больше из нашей модели этой ни шиша и не вытянешь. Приплыли. Дальше модель надо как-то усложнять. И тут можно пойти разными путями.

  Например, учесть в модели зависимость рождаемости и смертности от каких-то других условий. Скажем, от ресурса материальных благ, потребляемых популяцией и ей же производимых, да не впрямую, а через какую-то еще связь. Таких моделей можно налепить очень даже немало. Особенно радостно бы смотрелась-покачивалась от роста к спаду тройная система: волки x(t) (или человеки, но всё равно поедающие овечек), овечки y(t) (питающиеся травкой луговою) и зелень z(t) всякая-разная, растущая и поедаемая овцами. Как "колебатель" по специальности, обретенной на физфаке, очень бы на такой задаче я душой отдохнул. Но отложим это дело до поры.

Возрастная модель популяции

  Более перспективным представляется сначала учесть в модели возрастной спектр популяции, т.е. ввести еще одну переменную, связанную с тем, что мы неуклонно и со стопроцентной уверенностью топаем к светлому концу. Обозначим х - возраст человека, а f(x,t) - количество людей этого возраста в общем составе населения в какой-то момент t, скажем, сегодняшний день.

  Поработаем сначала с картиночкой. Для этого, задумчиво глядя перед собой, изобразим произвольную кривую, условно описывающую какое-то население. Произвольную, но все же логично и оптимистично убывающую с ростом возраста x. На графике это будет выглядеть как кривая 1.

[]

  Если вообразить, что, например, за десять лет никто в этом народе не родился и не умер, то через десять лет график 1 просто весь сместится на десять единиц вправо из-за того, что все стали старше и превратится в кривую 2. Простейший же учет смертности u(x,t), в предположении, что она была одинаковой для всех возрастных групп, т.е. от x на самом деле не зависела, даст кривую 3, той же что и 2 формы и места расположения, но меньшего масштаба. Если же смертностьu(x,t) в разных возрастах была различной по естественным причинам или, скажем, из-за военных действий, то и в этом случае легко предсказать поведение изменения графика.

  Картиночки - дело хорошее, но пришло время подключить в строительство модели и математику. Чтобы не загружать сей опус лишними выкладками (все подробности, отсюда и далее, желающим вышлю по мылу) сразу напишу в частных производных дифурчик, описывающий все вот эти кривулечки, с которыми я только что упражнялся.

df/dt+df/dx=-u(x,t)*f(x,t)

   Фу-ууу... Аж слеза прошибла. Эх, где она, моя молодость! Где они, эти Бюргерсы, Кортевеги-де Вризы, где лазеры с заданной накачкой? Где тонкие плёнки и пикосекундные импульсы? Где вынужденный тепломассоперенос? Потому, что это уравнение, самое простейшее из перечисленного класса и описывает оно простую одномерную волну, распространяющуюся в неоднородно поглощающей нестационарной среде. Мама, роди меня обратно! Я опять исчеркаю и истопчу его вдоль и поперек, как сотни подобных мне делали это до и после меня.

  Стоп, однако. Все эти хитрые классы еще, глядишь, и прорежутся, когда до моделирования ресурсов дело дойдет. А пока уже видно замечательное и не реализуемое в физике свойство. Так запросто, как в простейшей модели популяции, здесь разность (арифметическую) между рождаемостью и смертностью не напишешь. Лазерочек на кончике пера не слепишь. Потому, что помираем мы в каком-никаком, но возрасте, т.е. при x>0, а рождаемся все только при x=0. Таким образом, родившиеся - это, так сказать, "сигнал" f(0,t) на той антенне, с которой начинает бежать волна f(x,t). Дальше он может только уменьшиться, по пути, однако, разных дел натворив.

    - Ну, и что же здесь такого, чего не бывает в физике? - спросят меня. - "Где же тут Пушкин, Вовочка?"
    - "Щас будет, Марь Ванна!"

[]

  Вот оно, в чем дело! Все ребятишки, совокупно рожденные и четырнадцатилетними недоумками и вдруг решившимися с коэффицентом r(x,t) дамами "за ... x" вместе дружно и сразу от разных f(x,t) родителей прыгают в категорию x=0! В физике, господа, таких процессов не бывает. Чтобы бах - и обратная связь мгновенно на антенне.

   Замечу заодно, что пределы от нуля до бесконечности в интеграле написаны для общности. Ни младенцы, ни столетние в процессе деторождения не потянут. Однако эта поправка легко учитывается конкретизацией вида коэффициента рождаемости r(x,t). Можно предположить для r(x) нечто подобное, приведенному на рис. 3.

[]

Наличие биологических возрастных ограничений в способности к деторождению позволяет сузить реальную область интегрирования.

  Ну, ладушки. Очередная модель создана. Её, конечно, еще совершенствовать и совершенствовать. Но и на этом полуфабрикате пора покататься. Чтобы получить первые результаты и понять, что в модели достраивать.

  Для начала почистимся, т.е. чуть упростим задачу до решабельного аналитически состояния. Предположим, что возрастные профили рождаемости и смертности являются стационарными, т.е. не меняются во времени. Живет себе популяция в стабильных условиях. Может растет, может падает, но уровни r,u неизменны во времени

r(x,t)= r(x) u(x,t)= u(x)

Естественно поискать для таких условий и стационарное решение f(x,t)=f(x), когда население стабильно и возрастной состав его из года в год остается постоянным. Решение это существует, легко находится и имеет вид

[]

Но главным здесь является условие, при котором достигается стабильность. Вот оно:

[]

В сущности, это первый заслуживающий внимания результат, который получен с помощью возрастной модели популяции. Сейчас я поясню человеческим языком, что он означает. Чуть потерпите и начнем обсуждать.

  "Не все йогурты одинаково полезны!". Так и в балансе между смертностью и рождаемостью вовсе даже не все покойнички влияют на дестабилизацию демографической ситуации. Если упростить на рисунке 3 графики рождаемости до "ступенек" ("табуреток"), когда все с одинаковой вероятностью R могут заводить детей в возрасте от x1 до x2 (к примеру, от 20 до 40), а вне этого интервала деторождение невозможно

r(x)=R при x12          и r(x)=0 при всех остальных x

то в условии стабилизации будет уже явно видна верхняя граница возраста умерших, который только и должен быть учтен в балансе рождаемости-смертности.

[]

Здоровье, да и вообще, само существование на белом свете особей, чей возраст превысил x2, на перспективы выживания популяции вовсе даже не влияют. А вот от остальных треуется довести R до требуемой величины. Чтобы та самая единица в условии непременно достигалась. Ищи данные статистических сводок смертности по возрастам и считай перспективы.

  Ну, и чтобы уже окончательно добить дело. Если смертность u(x) =U, т.е. не зависит и от возраста (до верхней границы деторождения, а там как хотят), то критическое значение рождаемости R вычисляется по формуле

R=U/(exp(-Ux1) - exp(-Ux2))

И, как финал и проверку модели "предельным переходом", при смертности до самого климактерического возраста равной нулю, имеем

R=1/(x1 - x2)

  Вот так, господа! "Сколько поле не квантуй - всё равно получишь ..." Потому, как ЧТО означает последнее выражение? Означает оно, что даже при наиболее благоприятных условиях в смысле смертности, для сохранения популяции каждый в течение периода способности к деторождению обязан произвести на свет одного ребенка! Два ребенка на семью при моногамном браке. Если же дамы не захотят рожать двоих, выход видится в гаремных семьях, но тогда с помощью генной инженерии еще потребуется уменьшать и количество мужиков среди новорожденных. Однако обсуждение этого уводит нас от основной рассматриваемой темы.

  Отмечу только, что предельный переход дал согласованность результатов работы модели с очевидными из жизни результатами, что позволяет и далее оказывать ей некоторое доверие. А как же рост или спад численности, которые дает простая модель? Можно ли их получить и здесь? Да запросто! И формУлы эти я уже вывел до кучи.

Что делать дальше (в плане модели)

  Сделать модель "живой". А чтобы она "задышала", требуется замкнуть обратные связи. Каким образом "замкнуть"? Нужно установить связь смертности и рождаемости с рядом величин, в свою очередь связанных -определяемых численностью населения и его возрастным составом. Задача построения этой части модели сильно не проста, хотя первый этап действий достаточно очевиден.

Что человеку нужно? Штаны, пельмени и чтобы крыша не протекала. (с) М.Анчаров. Самшитовый лес.

Учет ресурсов. Харчей, одним словом, производимых и потреблямых различными возрастными группами. Откладываемых в запас, извлекаемых оттуда, портящихся там. Никаких проблем. Первый вариант ваяю прямо сейчас.

  Ресурсы y(t) (без разбивки пока по их категориям) производятся всем трудоспособным населением f(x,t) возраста от xjun(уже подрабатываю) до xold(уже не могу) с некоторой эффективностью g(x,t), связанной с возрастом и временем, в котором всё это население живет. Эти ресурсы потребляются всем населением f(x,t) в соответствии с некоторой функцией потребностей (возможностей, распределения, Царица Небесная, где он, социализм?!) s(x,t). Ну и еще портится сколько-то с коэффициентом h(t).

Объединяем все эти дела и вот вам уравнение, описывающее изменение ресурсов во времени:

[]

Вообще-то, конечно, вместо него можно поставить и бооольшууущую модель всей экономики....

  Ну, ладно, и что дальше? Смертность с ресурсами еще как-то можно по-разумному связать, а вот как рождаемость, если с объяснением её падения в развитых странах и социологи пока в ауте? Тут я пас. Тут уже , наверное, и найдут применение своим знаниям сдавшие зачет ребятки с их "продольным и поперечным анализом поколений, методом таблиц дожития, плодовитости, брачности" ... Что это за "дожитие" из Сети пока не узнаешь, но пригодится, скорее всего.

Выводы и пожелания

  1. Не слишком-то верить всяким крикунам. Не все так просто. Даже при абсолютном уменьшении населения состояние популяции может быть и надкритическим. Во всяком случае в любой момент может быть возвращено к таковому. "Больше 2-х на семью!" А сколько в точности - даёт та формулка, что на радостно зелененьком фоне.

  2. Кое-что действительно можно спрогнозировать, но нужны конкретные данные. ЦифИрьки. В первую очередь о смертности в разбивке по возрастам умерших и (во вторую) по рождаемости и возрастам родителей новорожденных.

  3. Модель можно усложнять и дальше, НО! Только в случае наличия конкретных данных. Если задать даже от разумного, но "фонаря" больше пяти параметров, толку не будет. Тут такого понарисуешь...

  4. Подчеркну для ясности. Совершенно не считаю себя в этом деле ни специалистом, ни, тем более, лидером. Наверняка всё это изучено и описано*). Просто мне захотелось потрогать это самому. Но "ежели чего", обращайтесь - обсудим.... Прочтут дилетанты - хоть какое-то поимеют представление. Прочтут специалисты - пусть терзают. Модель не полна, ясное дело. Тем не менее за приведенные здесь результаты - отвечаю головой.

. *) Ах, какая красивая задачка, с точки зрения математики. Именно из-за столь специфических граничных условий. У неё очень интересная "линейность" по переходным процессам - я чуток побаловался.

Список литературы

  1. Да вот ничем и не пользовался. Обошелся "внутренними резервами", размышляя обо всем этом, в основном, в транспорте. Другими делами там мешает заниматься то самое "присущее нашему народу чувство локтя", о котором нас предупреждали еще в пионерском детстве. Тесновато пока популяции в автобусах да электричках. Так что, видать, поживём ещё...
 Ваша оценка:
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список